2． 已知： △ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
3． 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形．
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．
（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；
（2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
5． 已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程． （1） ∠A＝∠A′．
（2） ∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．
6． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．
（第6题）
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线段的等分
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．
图1 图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、
A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再过A1、A2、A3、A4分别画BA5的平行线，
这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了． 现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分．
相似三角形与全等三角形
“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言．就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等．
相似是全等的拓展，全等是相似的特例．
人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊．本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似．因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到．
例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．即在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，可以推出△ABC∽△A′B′C′．
证明: （1） 若AB＝A′B′，则△ABC≌△A′B′C′，结论成立． （2） 若AB≠A′B′．不妨设AB＞A′B′．
在△ABC的边AB、AC上，分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′， 又∵ ∠A＝∠A′，
∴ △ADE≌△A′B′C′， 于是∠B′＝∠ADE． ∵ ∠B＝∠B′， ∴ ∠B＝∠ADE， ∴ DE∥BC．
作BC边上的高AG交DE于点F，于是AF⊥DE． ∴ S?ABC?S?ADE?S梯形DBCE，即
111BC?AG?DE?AF?(DE?BC)?(AG?AF)． 222化简得 DE·AG＝BC·AF， 即
BCAG?． DEAF因此
1BC?AGS?ABCS?ABC2BCAG ????S?A?B?C?S?ADE1DEAFDE?AF2BC2BC2?()?()． DEB?C?同理可证
S?ABCAB2AC2?()?()．
????S?A?B?C?ABAC∴
ABACBC． ????????ABACBC又∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴ ∠C＝∠C′，
∴ △ABC∽△A′B′C′． 这里的证明，实际上就是将△A′B′C′运动变换到△ABC内的△ADE处，得到DE∥BC，再研究△ADE与△ABC的关系． 试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！
§24.4 中位线
在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点． 现在换一个角度考虑，
图24.4.1
如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
猜想
从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝
1BC． 2 图24.4.2
证明 如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
ADAE1∴ ??．
ABAC2∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
DE1， ?（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）
BC21∴ DE∥BC且DE?BC．
2概括
∴ ∠ADE＝∠ABC，
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
例1
求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
图24.4.3
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证： AE、DF互相平分．
证明
连结DE、EF．因为
AD＝DB，BE＝EC，
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF∥AB．
所以四边形ADEF是平行四边形．
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
例2
求证：
如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
GEGD1??． CEAD3 图24.4.4 证明
连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC，
DE1， ?（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
AC2∴ △ACG∽△DEG，
GEGDDE1???， GCAGAC2GEGD1∴ ??．
CEAD3∴
图24.4.5
拓展
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有
G?DG?F1GDG?D1??，所以有??，即两图中的点G与G′是重合的． ADBF3ADAD3于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
1． 3由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF． 求证： EF∥BC，EF＝
1（AD＋BC）． 2
华师大版九年级数学上册课本教材电子书 第二十四章
