§ 24.3 相似三角形 ............................................................................. 2 1．相似三角形 .............................................................................. 2 2．相似三角形的判定 .................................................................. 3 3．相似三角形的性质 .................................................................. 7 4．相似三角形的应用 .................................................................. 8 阅读材料 ...................................................................................... 11 §24.4 中位线 .................................................................................. 13 §24.5 画相似图形 .......................................................................... 17 阅读材料 ...................................................................................... 18 §24.6 图形与坐标 .......................................................................... 19 1.用坐标确定位置 ...................................................................... 19 小结 ..................................................................................................... 24 复习题 ................................................................................................. 24
§24.3 相似三角形
1.相似三角形
在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles）．
图24.3.1 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中， ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
ABBCCA． ????????ABBCCA即△ABC与△A′B′C′相似，记作 △ABC∽△A′B′C′，
读作“△ABC相似于△A′B′C′”． 如果记
ABBCCA＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比． ??A?B?B?C?C?A?
做一做
如图24．3．2，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．
图24.3.2
我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．
通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．
如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k＝
1． 2当k＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角形是相似三角形的特例．
练习
1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形． 2．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？
（第1题） （第3题）
3． 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．
2．相似三角形的判定
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？
探索
如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
试一试
如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
图24.3.3
我们可以发现，它们的对应边成比例，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．
而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
思考
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？
图24.3.4
例1
如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′
＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．
证明
∵ ∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，
∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．
如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明： △ADE∽△EFC．
例2
图24.3.5
证明
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC， ∴ ∠AED＝∠C， ∴ △ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．
练习
1．找出图中所有的相似三角形．
（第1题） （第2题）
2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．
观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图24.3.6
1．将点E由点A开始在AC上3AD移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时=__________．
AB图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为
探 索
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
做一做
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？
我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
例3
证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．
图24.3.7
证明
∵
AE54??1.5， FE36
华师大版九年级数学上册课本教材电子书 第二十四章 - 图文
