1122
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R＝－(R－5)＋25，
22
所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm，此时l＝10cm，α＝2rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) ππ
A.B.C．3D.3 63答案 D
解析 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB2π＝， 3
2
作OM⊥AB，垂足为M，
π
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
3∴AM＝
3
r，AB＝3r， 2
∴l＝3r， 由弧长公式得α＝＝lr3rr＝3.
25
(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形
327
11
的弧长与圆周长之比为． 答案
5 18
2r解析 设圆的半径为r，则扇形的半径为，
3记扇形的圆心角为α， 5
由扇形面积等于圆面积的，
271?2r?2α??2?3?5可得＝， 2
πr275π解得α＝. 6
5π2r·3l65
所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
C2πr18
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
1??－例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P?，y?，则sinα·tanα?2?等于( ) A．－
3333B．±C．－D．± 3322
答案 C
122
解析 由OP＝＋y＝1，
4332
得y＝，y＝±.
42当y＝
33
时，sinα＝，tanα＝－3， 22
12
3
此时，sinα·tanα＝－. 2当y＝－33
时，sinα＝－，tanα＝3， 22
3
此时，sinα·tanα＝－. 23
所以sinα·tanα＝－.
2
(2)设θ是第三象限角，且?cos ?＝－cos，则是( )
2?22?A．第一象限角 C．第三象限角 答案 B
解析 由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角， 2
B．第二象限角 D．第四象限角
?
θ?
θθθθ?θθ?cos ∵?＝－cos，∴cos<0， ?2?22?
综上可知，为第二象限角．
2命题点2 三角函数线
1
例3(1)满足cosα≤－的角的集合是．
2
???24
答案 ?α?2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z
33???
θ
??
? ??
1
解析 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，
2
则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
???24
?α?2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z
33???
??
?. ??
13
3ππ
(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是．
42答案 sinα 解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT， 观察可知sinα 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练2 (1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则sinα＋cosα等于( ) A．－ 5 5 B．± 5 5 14 3C．－ 5答案 B 3D．± 5 解析 ∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0， －2m2m1 ∴m>0时，sinα＝＝－，cosα＝＝， 5m55m5∴sinα＋cosα＝－ 5； 5＝25 ，cosα＝ m<0时，sinα＝－2mm－5m－5m＝－1 ， 5 ∴sinα＋cosα＝5； 5 5 ，故选B. 5 ∴sinα＋cosα＝± (2)在(0,2π)内，使得sinx>cosx成立的x的取值范围是( ) A.?C.? ?π，π?∪?π，5π? ???4??42???π，5π? 4??4? ?π?B.?，π? ?4? ?π??5π3π?D.?，π?∪?，? 2??4??4 答案 C ?π??π?解析 当x∈?，π?时，sinx>0，cosx≤0，显然sinx>cosx成立；当x∈?0，?时，如 4??2???ππ?图，OA为x的终边，此时sinx＝|MA|，cosx＝|OM|，sinx≤cosx；当x∈?，?时，如?42? 图， 15
（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习-4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数教案（含解析）
