【练习4】 如图，AB是⊙O的直径，BC?AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，
弦 DF?AB于点G．
?的中点； ⑴ 求证：点E是BD⑵ 求证：CD是⊙O的切线；
4⑶ 若sin?BAD?，⊙O的半径为5，求DF的长．
5【解析】 ⑴ ∵AD∥OC，∴?A??COB，
CDEAGOB5】∴?DB?2BE?，∴DE??BE?． F ⑵ 连结OD
由⑴知?DOE??BOE
在C△COD和△COB中，CO?CO，OD?OB， D ∴△COD≌△COB E ∴?CDO??B，
又∵BC?AB，∴?CDO??B?90?， AGOB 即CD是⊙O的切线．
⑶ 解法一：在△ADG中，sinA?DG4FAD?5，
设DG?4x，AD?5x
∵DF?AB，∴AG?3x，
又∵⊙O的半径为5，∴OG?5?3x，
∵OD2?DG2?OG2，即52??4x?2??5?3x?2，
C 解得x6648D1?5，x2?0（舍去），∴DF?2DG?8?5?5． E 解法二：连结BD AGB ∵AB是直径，∴?ADB?90?，sinA?BD4OAB?5
∵⊙O的半径为5，∴BD?4F5AB?8，AD?6，
∵DF?AB，∴DF?2DG，
在Rt△ABD中，AB?DG?AD?BD，
∴DG?AD?BD6?824AB?10?5， ∴DF?2DG?485．
题型三 切线长定理 巩固练习
A⑴ 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，AB?18cm，FBC?20cm，AC?12cm，又直线MN切⊙O于G，交AB、BC于M、N，ME则△BMN的周长为______________． GO
BNDC【练习
⑵ Rt△ABC中，?C?90?，AC?6， BC?8，则△ABC的内切圆半径r?________．
⑶ 等腰梯形ABCD外切于圆，且中位线MN的长为10，那么这个等腰梯形的周长是_____．
【解析】 ⑴ 26cm；⑵ 2；⑶ 40．
课后测
【测试1】 如图，MP切⊙O于点M，直线OP交⊙O于点A 、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．
MPCABO【解析】 ∵MP是⊙O的切线， ∴OM?MP，
∵AC∥MP，∴AC?OM，
∵AB是直径，∴?ACB?90?，即BC?AC， ∴MO∥BC．
【测试2】 如图，四边形ABCD内接于eO，BD是eO的直径，
AE?CD于点E，DA平分?BDE．
(1) 求证：AE是eO的切线；
(2) 如果AB?4，AE?2，求eO的半径．
【解析】(1) 证明：联结OA，∵OA=OD，∴∠1=∠2．
∵DA平分?BDE，∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE=∠4，
∵AE?CD，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线. (2) 解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°． ∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5． 又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴BDBAAD?AE，∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD． 在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD=833． ∴⊙O半径为433．
BOACDEBO1A2354CDE
[精选]2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理
