圆中三大切线定理
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秋季班第八讲 秋季班第六讲 暑期班第六讲
题型一：切线的性质定理
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题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。
典题精练
A 【例1】 如图，在△ABC中，AB?BC，以AC为直径的⊙0与BC边
交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若 DE⊥AB．求证：AE?3BE．
【解析】 连接OD、AD，由切线的性质定理可得OD?AB，
又∵DE⊥AB，
OEBDC∴OD∥AB
则OD为?ABC的中位线， D为BC中点， 又∵?ADC?90?，
则AD为BC的垂直平分线，
∴AB?AC?BC，?ABC为等边三角形， ∴?B??ADE?60?， ∴AE?3DE?3BE．
AOEBDC题型二：切线的判定定理
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判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。
典题精练
【例2】 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC
于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F， 连结CF并延长交BA的延长线于点P. ⑴ 求证：PC是⊙O的切线. ⑵ 若AB=4，AP：PC?1： 2，求CF的长.
【解析】⑴ 证明：连结OC ．
∵ OE⊥AC，∴ AE=CE ．
∴ FA=FC．∴ ∠FAC=∠FCA． ∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA．
∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA． 即∠FAO=∠FCO ．
∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径， ∴ FA⊥AB．∴ ∠FCO=∠FAO=90°． ∴ PC是⊙O的切线． ⑵ ∵∠PCO=90°，即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴ ∠ACP=∠BCO.
∵ BO=CO，∴ ∠BCO=∠B，∴ ∠ACP=∠B. ∵ ∠P公共角，∴ △PCA∽△PBC . PCPAAC∴. ??PBPCBCAC1∵AP：PC?1?. ： 2，∴
BC2∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.
∴?AOF??ABC.∴tan?AOF?tan?ABC?1AF1.∴tan?AOF??. 2AO2CD∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 .
【例3】 如图，已知Rt△ABC中，?ACB?90?，BD平分?ABC，以D为圆心、
CD长为半径作⊙D，与AC的另一个交点为E．
⑴ 求证：AB与⊙D相切； E⑵ 若AC?4，BC?3，求AE的长． A
【解析】 ⑴ 证明：过点D作DH?AB于H．
∵BD平分?ABC，?ACB?90?，DH?AB， ∴DC?DH．
∵DC是⊙D的半径，∴AB与⊙D相切．
E⑵ 解：设⊙D的半径为r．
A 在Rt△ABC中，?ACB?90?，AC?4，BC?3， ∴AB?5．
由⑴可知BC切⊙D于C，BH切⊙D于H，∴BH?BC?3， ∴AH?AB?BH?5?3?2． 又AD?AC?CD?4?r，
∴在Rt△ADH中，?AHD?90?，
32 ∴AH2?DH2?AD2，即r2?22??4?r?，解得r?．
2 ∴AE?AC?CE?4?2r?1．
另：该问还可以用△AHD∽△ACB求得AE的长． 还可以用△ADB面积的求法，3(4?r)?5r.
【例4】 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，
过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． ⑴ 求证：BE与⊙O相切；
2⑵ 连结AD并延长交BE于点F，OB?9，sin?ABC?，
3求BF的长．
【解析】⑴ 证明：连结OC.
QEC与⊙O相切，C为切点.
o??ECO?90.QOB?OC， ??OCB??OBC.
QOD?DC.A?DB?DC. ?直线OE是线段BC的垂直平分线.
?EB?EC.??ECB??EBC.
??ECO??EBO.o??EBO?90. QAB是⊙O的直径. ?BE与⊙O相切.
BCDBHCDEFOMB⑵ 解：过点D作DM?AB于点M，则DM∥FB. 在Rt?ODB中，
2Q?ODB?90o，OB?9， sin?ABC?， 3
?OD?OB?sin?ABC?6. 由勾股定理得BD?OB2?OD2?35. 在Rt?DMB中，同理得
DM?BD?sin?ABC?25.
22BM?BD?DM?5. QO是AB的中点，
?AB?18.
?AM?AB?BM?13. QDM∥FB，
??AMD:?ABF.MDAM?. ? BFABMD?AB365?BF??.AM13
题型三 切线长定理
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切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【引例】已知：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点．求证：⑴ ?APO??BPO； ⑵ PA?PB；⑶ OP垂直平分线段AB．
【解析】 连结OA，OB AA∵PA，PB分别与⊙O相切，
PP∴PA?OA，PB?OB， COCO∵OA?OB，OP=OP ∴△AOP≌△BOP BB∴?APO??BPO． ∴PA?PB，
由等腰三角形“三线合一”可知：OP?AB且AC?BC， ∴OP垂直平分线段AB．
例题精讲
典题精练
【例5】 ⑴ 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，若PO?10，
△PDE周长为16，求⊙O的半径．
⑵ 梯形ABCD中，AB∥CD，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与
AD、CD、BC都相切．已知AD?6，BC?4，求AB的长．
【解析】 ⑴ 连结OA
∵PA、PB、DE都与⊙O相切， ∴PA?PB，DC?DA，EC?EB，
∴△PDE周长?PD?DE?PE?PD?DC?CE?PE ?PD?DA?EB?PE?PA?PB?16 ∴PA?8
∴OA?PO2?PA2?6，即⊙O的半径为6． ⑵ 连接OD、OC，
∵AD、CD、BC都是半圆O的切线，
由切线长定理得OD平分?ADC，OC平分?BCD， A ∵AB∥CD，∴AO?AD?6，BO?BC?4， ∴AB?AO?BO?6?4?10．
⑴ 如右图所示，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于
D、E、F.AB?13cm，BC?14cm，CA?11cm，求AD、BE、CF的长．
⑵ 如图，在Rt?ABC中，?C?90?，AC?6，BC?8，圆O为
ADPCEBDOCAOBDCOCEFB【例6】
ADBC O D
A ?ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan?ODA .
【解析】
（2012启东市模拟）
B ⑴ ∵AB、∴AD?AF，CA与⊙O相切，CE?CF BC、BD?BE，
设 AD?x，BD?y，CE?z， ?x?y?13?x?5???y?z?14，解得?y?8，
?z?6?z?x?11??即AD、BE、CF的长分别为5cm、8cm和6cm．
⑵ 2．
[精选]2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理
