2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设cosx?1?x?sin?(x)，
?(x)??2，当x?0时，?(x)（ ）
（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x是等价无穷小
【答案】（C） 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】
1cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1?x2
211?x?sin?(x)?x2，即sin?(x)?x
22?当x?0时，?(x)?0，sin?(x)?(x)
1?x，即?(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 222、已知y?f(x)由方程cos(xy)?lny?x?1确定，则limn[f()?1]?（ ）
n??n??(x)（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
【详解】当x?0时，y?1.
方程cos(xy)?lny?x?1两边同时对x求导，得 将x?0，y?1代入计算，得 y?(0)?f?(0)?1 所以，limn[f(n??2)?1]?2，选（A）. nx?sinx[0,?)3、设f(x)??，F(x)??f(t)dt，则（ ）
02[?,2?]?（A）x??为F(x)的跳跃间断点 （B）x??为F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x??处连续不可导 （D）F(x)在x??处可导
【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
F(??0)??sintdt??2sintdt???sintdt?2，F(??0)?2，
002????F(??0)?F(??0)，F(x)在x??处连续.
?F?(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x????0，F?(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x???2，
F??(?)?F??(?)，故F(x)在x??处不可导.选（C）.
1?1?x?e??1????(x?1)4、设函数f(x)??，若反常积分?f(x)dx收敛，则（ ）
11?x?e??1??xlnx（A）???2 （B）??2 （C）?2???0 （D）0???2
【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】由
??e???1f(x)dx??f(x)dx??1e1ef(x)dx
??e???1f(x)dx收敛可知，?f(x)dx与?ef(x)dx均收敛.
?e1f(x)dx??1e11dxdx收敛，所以??1?1???2 ，是瑕点，因为x?1??1??1?1(x?1)(x?1)???ef(x)dx????e11??dx??(lnx)xln??1x???，要使其收敛，则?e?0
所以，0??5、设z?2，选D.
?x?z?zy??（ ） f(xy)，其中函数f可微，则
y?x?yx（A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）【答案】（A）
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
22f(xy) （D）?f(xy) xx?zyy2?z1?f(xy)?yf?(xy) ??2f(xy)?f?(xy)，【详解】
?yx?xxx??11f(xy)?yf?(xy)?f(xy)?yf?(xy)?2yf?(xy)，故选（A）. xx6、设Dk是圆域D??(x,y)x2?y2?1?位于第k象限的部分，记
Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1?I3?0.
I2???(y?x)dxdy?0（
D2y?x?0），I4???(y?x)dxdy?0（
D4y?x?0）
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【考点】等价向量组 【难易度】★★ 【详解】将矩阵
A、C按列分块，A?(?1,?b11?,?n)??b?n1,?n)，C?(?1,,?n)
由于AB?C，故(?1,b1n????(?1,bnn???bnn?n
,?n)
即?1?b11?1??bn1?n,,?n?b1n?1?即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故A?CB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
?1?1a1??200?
????
8、矩阵aba与0b0相似的充分必要条件是（ ）
?????1a1??000?????
（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2,b 为任意常数 【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
?200??1a1?????由0b0的特征值为2，b，0可知，矩阵A?aba的特征值也是2，b，0. ?????000??1a1?????1因此，
?a?a?1110?a?2a?1?2a??4a2?0?a?0
02E?A??a2?b?a?02?b?a2?1?101???将a?0代入可知，矩阵A?0b0的特征值为2，b，0.
???101???此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
ln(1?x)1)x? . 9、lim(2?x?0x【答案】e
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】
12其中，lim121ln(1?x)x?ln(1?x)?(1?)?lim?limx?0xx?0x?0xx21?1x11?x?lim?
x?02x(1?x)2x2故原式=e
10、设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dxdy? .
y?0【答案】11?e?1
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★
【详解】由题意可知，f(?1)?0
f?(x)?dydx1dx?1?ex???dxdydy1?ex?y?0dxdy?x??111?e?1.
11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为r是 . 【答案】
?cos3?(??6????6)，则L所围平面图形的面积
? 12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】面积S??1621?cos6?1sin6?6?266r(?)d??cos3?d??d??(??)? ????00?26226120?????x?arctant,12、曲线?上对应于t?1点处的法线方程为 .
2??y?ln1?t【答案】
y?x?ln2??4?0
【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★★
?1?(1?t2)2?2t22dydydy/dt1?t?1 ???t，故【详解】由题意可知，
1dxt?1dxdx/dt21?t11曲线对应于t当t?1点处的法线斜率为k??1??1. 1?1时，x??4，y?ln2.
2013年考研数学二试题及答案
