习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用
多元复合函数、隐函数的求导法
(1) 多元复合函数
设二元函数z?f(u,v)在点(u0,v0)处偏导数连续，二元函数u?u(x,y),v?v(x,y)在点(x0,y0)处偏导数连续, 并且u0?u(x0,y0),v0?v(x0,y0), 则复合函数
z?f(u(x,y),v(x,y)) 在点(x0,y0)处可微，且
?z?x?z?y
(x0,y0)(x0,y0)??f?u0,v0??u?x0,y0??f?u0,v0??v?x0,y0?????u?x?v?x?f?u0,v0??u?x0,y0??f?u0,v0??v?x0,y0? ????u?y?v?y?多元函数微分形式的不变性：设z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，均为连续可微，
则将z看成x,y的函数，有
dz??z?xdx??z?ydy
计算
?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x,?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y，代人，
dz??z?xdx???f?u?f?v???f?u?f?v??dy?????dx????dy?y?u?x?v?x?u?y?v?y?????z???z?x??f??v??f??u?u?v????dx?dy?dx?dy??v??x??u??x?y?y?????f?udu??z?y
?f?vdv?f?u?f?v我们将dz?
dx?dy?du?dv叫做微分形式不变性。
例1 设z?xf?xy,?3?y??z?z，求。 ,?x??x?y???y??2323?解：dz?f?3xdx?xdf?3xfdx?x?f1d(xy)?f2d???
?x??? ?3xfdx?x?f1(xdy?ydx?f2?23???xdy?ydx? 2?x?????2342 ???3xf?xyf1?xyf2??dx???xf1?xf2??dy
????由微分形式不变性， dz??z?xdx?????2342dy???3xf?xyf1?xyf2??dx???xf1?xf2??dy
?????y??42???xf1?xf2??。 ???y?z?z故
??23???3xf?xyf1?xyf2??,???x?z1例2 已知 y?()x?1x，求
dydx. 1x,v??1x解 考虑二元函数y?uv , u?
dydx?，应用推论得
?1x2?ydu?udx??ydv?vdx.vuv?1?(lnu)uv1x2?1?????x?2?1x(1?lnx).
(2)隐函数 若函数y?y?x?, 由方程F?x,y??0确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式：F?x,y?x???0?ddxF?x,y?x???0，
?Fx??x,y?x???Fy??x,y?x???y??x??0?y??x???Fx??x,y?x??Fy??x,y?x??。
从这是可见：函数y?y?x?可导有一个必要条件是，Fy??x,y??0.
22例3 已知函数y?f(x)由方程ax?by?f?x?y? , a,b 是常数，求导函数。
解：方程ax?by?f?x?y? 两边对x求导，
22a?bdydy?22??f?(x?y)?2x?2y? dxdx??dydx?222xf?(x?y)?ab?2yf?(x?y)22
??一般来说，若函数y?y?x?, 由方程F?x,y??0确定，求导之函数？
? 将y看作是x1,...,xn的函数y?y?x??y(x1,...,xn),对于方程
???Fx,y??y?fxix??两端分别关于i求偏导数得到，并解,可得到公式 : ??xi?xiFy??x,y?F(x1,...,xn,y(x1,...,xn))?0
例4
?x2?y2?z2?1?0设函数x?x(z), y?y(z)由方程组? 确定， 求 222?x?2y?z?1?0dx, dy. dzdz?222?2x?x?y??z?1??解 ? ??222?x?2y?z?1?2x???dzdxdzdx?2y?4ydzdydzdy??2z解方程得：
?2z?dx?dz?dy??dzdzx??1=??4xy??dz?4y???2x?2y??2z?1?????2x???2z?4xy?12yz??? ??8xz?dy由此得到 dx?3z,??2z.
y
?x?ucosv?例5 已知函数z?z?x,y?由参数方程:?y?usinv,给定，试求?z,?z.
?x?y?z?uv?解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. x,y是自变量,u,v是中间变量(u,v是x,y的函数), 先由 z?uv 得到
?z?x?z?y???z?u?u?x?z?u?u?y???z?v?v?x?z?v?v?y?v?v?u?x?u?y?u?u?v?x?v?y
?u?u(x,y)u,v 是由方程?的x,y的隐函数，在这两个等式两端分别关于x,y求偏导数，得
?v?v(x,y)?0?cosv?u?usinv?v?1?cosv?u?usinv?v??y?y?x?x， ? ???u?v?u?v?ucosv?ucosv?0?sinv?1?sinv?x?x??y?y?得到
?u?x?cosv,?v?x??sinu?u?vcosv ,?sinv,?u?y?xu将这个结果代入前面的式子, 得到
?z?u?x?v?x?u?u?v?x?vcosv?sinv ?vsinv?cosv
与
?z?y?v?u?y?v?y?u?f(x,y,z,t)?u?u?,(3) 隐函数函数u?u(x,y)由方程?g(y,z,t)?0确定，求 ?x?y?h(z,t)?0?解： 函数关系分析: 5 (变量) ? 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u), 二自( x, y ), 二中( z, t )
?u?x??f?x,
?u?y??f?y??f?z?z?y??f?t?t?y
??z???y??t???y???(g,h)???????(z,t)????????1??h???t???h???z?g??????g?t???t?g???0???z???f?h?f?h??g????t?z??z?t???y?u?f???, . ????g?h?g?h?y?y????z?t?t?z
二阶偏导数：一阶导函数的偏导数
例6 z?z(x,y)由x?y?z?a决定，求解：2x?2z?z?x?0，2y?2z?z?y?0 ?z?x22222?z?x?y2．
???xzz,??z?y?z?x????yzxyz3
?z?x?yy2
例7 设g?x??f?x,??x,x22??，其中函数f于?的二阶偏导数连续，求?z2dg?x?2dx2
例8 设z?f(xy,xy)，f二阶连续可微，求
?x2.
解 记 u?xy,v?xy; f1???2?f?u,f2???f?v,
?2???f11f2?u???,f22?f?u2?2f2?v????,f12??v?xf?u?v???,f211y?2f?v?u
则
?z?x???u?x?f?v?yf1??f2?,
?z?x2????z??x???x??f1?1?f2?? ?y???xy?x?因为 f1???f?u,f2???f?v都是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的函数，所以
???f11???f21?u?x?u?x???f12???f22?v?x?v?x?f1??x?f2??x????yf11????yf211y1y?? f12?? f222z2 ?1?? . ??????2?将以上两式代入前式得: yfff22111222?xy
例9 设z?z(x,y)二阶连续可微，并且满足方程
A?z?x22?2B?z?x?y2?C?z?y22?0
2?u?x??y?z 若令?, 试确定?,?为何值时能变原方程为 ?0.
v?x??y?u?v? 解 将x,y看成自变量，u,v看成中间变量，利用链式法则得
?z?x?z?y2??z?u?u?x???z?v?v?x??2??z?u?????????z ?v??u?v???????????z ?v??u?v?22?z??z?u?u?y?z?v?v?y?z?u??2?z?z?x2???z?z??z?z?z???????2????????z 22?x??u?v??u?u?v?v??u?v?2?z?y22???z?z??????????y??u?v??z2?z?u22?2??2?z?u?v2??2?z?v222??????????z
?v???u22???z?z??z?z?z?? ??????????????22?x?y?x??u?v??u?v?u?v=?2????u2?????????????z
?v???u?v?由此可得, 0?A?z?x2?2B2?z?x?y2?C?z?y22=
=?A?2B??C???z?u2?2?A?B??????C????z?u?v2??A?2B??C?2??z?v22=0
22??z?A?2B??C??0?0. 只要选取?,?使得 ?, 可得
2?u?v??A?2B??C??0问题成为方程A?2Bt?Ct?0有两不同实根，即要求： B?AC?0. 令???B?此时，
?z?u?v222B?AC,???B??0??z?u?v22B2?AC,即可。
?0????z??z?0???v??z?????u??v??v???v?dv?f?u?.
z?f?u??g?v??f?x??y??g?x??y?.
例10
设u(x,y)?C, 又
2?u?x22??u?y22(x,2x)?x,求 u?xx?(x,2x), ?0,u(x,2x)?x, u?x2?(x,2x) u?yy?(x,2x) u?xy解: 两边对x求导,
?u?x(x,2x)?x,
2
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)_23405397
