1．（5分）（2015?湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（5分）（2015?湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29 4．（5分）（2015?湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）（2015?湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（5分）（2015?湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a
＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx
C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]
7．（5分）（2015?湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1 8．（5分）（2015?湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ） A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 9．（5分）（2015?湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ） A．77 B．49 C．45 D．30 10．（5分）（2015?湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（5分）（2015?湖北）已知向量
⊥
，|
|=3，则
?
= ．
12．（5分）（2015?湖北）函数f（x）=4cos2cos（
﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为 ．
13．（5分）（2015?湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西
偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
14．（5分）（2015?湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 ；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论： ①
=
； ②
﹣
=2； ③
+
=2
．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
15．（5分）（2015?湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则
= ．
17．（11分）（2015?湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0
x
）在某一个周期内的图
π
2π
Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（
，0），求θ的最小值．
18．（12分）（2015?湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（12分）（2015?湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
，求
的值．
20．（12分）（2015?湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（14分）（2015?湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（14分）（2015?湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）nan（n∈N+），e为自然对数的底数． （1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令cn=（a1a2…an）
，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2015?湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 【考点】虚数单位i及其性质． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．
【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i， 它的共轭复数为：i． 故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查． 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）（2015?湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
【考点】二项式定理；二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．
【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
可得，可得n=3+7=10．
=29．
（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．（5分）（2015?湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t） 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
