3.1 指数函数
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疏导引导
2.2.1 分数指数幂
n*
1.如果一个实数x满足x=a(n>1,n∈N)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，x=
;当n为偶数时，x=±
(a>0).
2.根式的性质 (1)(
)=a;
n(2)n为奇数时,(3)n为偶数时,
nan=a;
=|a|.
3.分数指数幂的意义 (1) (2)
==
;
(a>0,m,n∈N且n>1).
*
4.有理数指数幂的运算性质
st=s+t
(1)a·aa;
s)tst
(2)(a=a;
tt-t
(3)(a·b)=a·a(s,t∈Q,a>0,b>0).
疑难疏引 1.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.
除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
2.指数幂与根式运算的统一性
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如
3.经常要用的公式 (1)a-b＝((2)a±2(3)a±b＝(
-)(
+±)(
)； )；
).
2
、都不是最简形式.
＋b＝(±
●案例1求下列各式的值.
1 / 9
(1);(2);(3);(4)-÷(+).
【探究】对于根指数为奇数类型的处理相对简单一些，而对于根指数为偶数的情况则很容易出错，应避免出现讨论不周的情况.
(1)
=-8;(2)
=|-10|=10;(3)
=
=π;
2
(4) -÷(+)=-=2-(2-3)=3.
【溯源】当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na.当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示，它们可以合并写成±方根等于0.
(a＞0)的形式.特别地，0的n次实数
●案例2 已知a=-，b=，试求÷的值.
【探究】就此类问题一般而言,要先将所求代数式化简，再代入具体数值进行求解.显然a≠0，所以有：
原式=×=====
.
【溯源】在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.
2.2.2 指数函数
x函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
疑难疏引 指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意区分底数分别在a>1和0 指数函数的应用主要体现在利用指数函数的性质比较不同函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免造成混淆.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用. -0.50.70 ●案例1 比较下列三个数1.5，1.2,(-0.3)的大小，并按照从小到大的顺序排列. 【探究】 1.5 -0.5 =考查指数函数y=可知在0 2 / 9 故0<1.5<1. 0.70 同理,1.2>1,(-0.3)=1, -0.500.7 所以1.5<(-0.3)<1.2. 【溯源】 比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较. 3.指数函数的图象和性质 疑难疏引 注意用单调性的定义研究有关指数函数的单调性问题.学会利用函数图象解决简单的数学问题. (1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线. 当0 (2)熟悉指数函数y＝10,y＝2,y＝ xx-0.5 ,y＝在同一直角坐标系中的图象的相 对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系. axax认识指数函数中底数逐渐变化时函数图象的渐变过程；注意函数y=b=(b)，因此在 -x判断“指数型”复合函数的单调性时，不要简单的看底数，例如函数y=2是减函数不是增 x+hx函数.函数y=a+k的图象可由函数y=a的图象平移得到，因此它们的性质有很多类似. xx●案例2 指数函数①f(x)=m;②g(x)=n满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( ) 【探究】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0 【溯源】这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图、用图的意识. ●案例3 试比较f(x)=a(其中a>1). 【探究】由条件可知f(x)与g(x)分别是指数函数y=a,y= 2 x2-4x+1 与g(x)=与u(x)=x-4x+1的单调性之间的关系 2 x 与二次函数u(x)=x-4x+1复合而成，因此必须先考虑各自的情况(即单调性)再给出结论. 3 / 9 ∵u(x)=x-4x+1=(x-2)-3，所以函数u(x)的单调减区间为（-∞,2］，单调增区间为［2,+∞），又∵a>1,∴y=a为单调增函数，而y=2，则知u(x1)>u(x2). ∴au(x1) 22 x为单调减函数，现设-∞ >au(x2) ，而<. x2-4x+1 即f(x1)>f(x2),g(x1) 在区间（-∞,2］上为减函数，而函 在区间（-∞,2］上为增函数. 同理可得：函数f(x)=ax2-4x+1 在区间［2,+∞）上为增函数，而函数g(x)= 在区 间［2,+∞）上为减函数. 【溯源】研究复合函数f［g(x)］的单调性问题时，应研究函数f(x)和g(x)的单调性，然后可以根据“同增异减”的原则直接得到复合函数的单调性. 疑难疏引 掌握并运用指数函数的性质及图象来解决一些具有实际背景的数学问题.要求： (1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义. (2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题. (3)能处理有关几何问题、增长率问题和物理方面的实际问题. 另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.如函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性. x●案例4对于指数函数y＝a(a＞0且a≠1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？ 【探究】 要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分 xxx别作出函数y=2、y=3和y=5的图象(如右图所示)，根据图象能看出该结论是正确的. 【溯源】由此我们还能得出如下结论： x-x(1)一般地，指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与y＝a(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对 4 / 9 称. (2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”). (3)(有界性)若a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1. 1+2x-x2 ●案例5 已知f(x)=2，试求函数f(x)的定义域与值域. t2 【探究】本题可以看作函数f(t)=2和函数t=u(x)=1+2x-x的复合函数，可以先求函数u(x)的值域作f(t)的定义域，然后由数形结合探求y=f(x)的值域.易知函数y=f(x)的定 22 义域为R，又1+2x-x=-(x-1)+2≤2, 2 故函数y=f(x)的值域为（0,2］,即（0,4］. 【溯源】求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：函数y=f(u)(u∈A)，u=g(x)(x∈B，u∈A)，则y=［f(g(x))］叫做由函数y=f(u)(u∈A)、u=g(x)(x∈B，u∈A)合成的复合函数，u叫中间变量，y=f(u)(u∈A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(x∈B，u∈A)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A. 活学巧用 x-xx-x1.已知2+2=3，求4+4的值. x-x【思路解析】注意到2与2互为倒数的情况，可利用完全平方公式来探求. x-x【解】 ∵2+2=3, x-xx2-2 又4+4=(2)+(2x) x2-x2 =(2)+2+(2)-2 x-x2 =(2+2)-2, x-x∴4+4=7. x-x2x-2x【借题发挥】 将已知条件改为a+a=m，求a+a的值的问题，求解思路、过程基本一致. 2. 的值为( ) A. B.- C. D.- 【提示】 可以运用指数运算法则直接求解，做题过程应该注意符号的变化. 【答案】】 C 3.计算： (1) ;(2) . 【解】 (1)25;(2)- 4.求下式中的x值. . . 【提示】 通过观察题目发现可以使用立方和(差)公式a±b=(a±b)(a3 3 2 ab+b2)进行整 5 / 9
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数互动课堂学案苏教版必修1
