第3节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意奇函数 一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函关于原点对称 数叫做奇函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意偶函数 一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论与微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝
图象特点 关于y轴对称 1
，则T＝2a(a>0). f（x）
1
(3)若f(x＋a)＝－
1
，则T＝2a(a>0). f（x）
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数). 4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
?a＋b?
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点?，0?对
?2?称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P109A2改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y＝x2sin x C.y＝|ln x|
B.y＝x2cos x D.y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案 B
3.(老教材必修4P42例4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈
2
?－4x2＋2，－1≤x<0，?3?
[－1，1)时，f(x)＝?则f?2?＝________.
???x，0≤x<1，?3??1??1?
解析 由题意得，f?2?＝f?－2?＝－4×?－2?＋2＝1.
??????答案 1
4.(2020·济南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1
A.－
3
1
B. 3
1C. 2
1 D.－
2
2
11
解析 由题意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，解得a＝3，则a＋b＝3. 答案 B
5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( ) A.e－x－1 C.－e－x－1
B.e－x＋1 D.－e－x＋1
－
－
解析 由题意知，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1. 答案 D
6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－2 017)＋f(2 018)＝f(－2 016－1)＋f(0)＝f(－1)＋f(0)＝f(1)＋f(0)＝e－1. 答案 e－1
考点一 函数的奇偶性及其应用 角度1 函数奇偶性的判断
【例1－1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x2＋x2－3； lg（1－x2）(2)f(x)＝；
|x－2|－2
多维探究
3
?x2＋x，x<0，
(3)f(x)＝?2
－x＋x，x>0；?(4)f(x)＝log2(x＋x2＋1).
?3－x2≥0，
解 (1)由?2得x2＝3，解得x＝±3，
?x－3≥0，即函数f(x)的定义域为{－3，3}， 从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
?1－x2>0，(2)由?得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
|x－2|≠2，?lg（1－x2）∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
－xlg[1－（－x）2]lg（1－x2）
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
x－x∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x) ＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
4
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
3·e|x－1|－sin（x－1）
【例1－2】 (1)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最
e|x－1|小值分别为p，q，则p＋q的值为( ) A.2
B.1
C.6
D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________. 3e|x－1|－sin（x－1）sin（x－1）解析 (1)因为f(x)＝＝3－，
e|x－1|e|x－1|sin（x－1）sin t
所以f(x)－3＝－，∴f(t＋1)－3＝－e|t|，t∈[－4，4]. |x－1|
e
又f(t＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也就是p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6. (2)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1. 故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7. 答案 (1)C (2)－7
规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)＝
2
＋b(a>0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性ax－1
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第3节 函数的奇偶性与周期性
