第3节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义;2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意奇函数 一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函关于原点对称 数叫做奇函数 设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意偶函数 一个x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数 2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论与微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=
图象特点 关于y轴对称 1
,则T=2a(a>0). f(x)
1
(3)若f(x+a)=-
1
,则T=2a(a>0). f(x)
(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a>0,c为常数). 4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
?a+b?
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点?,0?对
?2?称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错.
(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P109A2改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sin x C.y=|ln x|
B.y=x2cos x D.y=2-x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数. 答案 B
3.(老教材必修4P42例4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈
2
?-4x2+2,-1≤x<0,?3?
[-1,1)时,f(x)=?则f?2?=________.
???x,0≤x<1,?3??1??1?
解析 由题意得,f?2?=f?-2?=-4×?-2?+2=1.
??????答案 1
4.(2020·济南一中月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( ) 1
A.-
3
1
B. 3
1C. 2
1 D.-
2
2
11
解析 由题意,得b=0,且2a=-(a-1),解得a=3,则a+b=3. 答案 B
5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( ) A.e-x-1 C.-e-x-1
B.e-x+1 D.-e-x+1
-
-
解析 由题意知,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(ex-1)=-ex+1. 答案 D
6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(-2 017)+f(2 018)=________.
解析 由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,∴f(-2 017)+f(2 018)=f(-2 016-1)+f(0)=f(-1)+f(0)=f(1)+f(0)=e-1. 答案 e-1
考点一 函数的奇偶性及其应用 角度1 函数奇偶性的判断
【例1-1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3-x2+x2-3; lg(1-x2)(2)f(x)=;
|x-2|-2
多维探究
3
?x2+x,x<0,
(3)f(x)=?2
-x+x,x>0;?(4)f(x)=log2(x+x2+1).
?3-x2≥0,
解 (1)由?2得x2=3,解得x=±3,
?x-3≥0,即函数f(x)的定义域为{-3,3}, 从而f(x)=3-x2+x2-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
?1-x2>0,(2)由?得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
|x-2|≠2,?lg(1-x2)∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.
-xlg[1-(-x)2]lg(1-x2)
又∵f(-x)==-=-f(x),
x-x∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
(4)显然函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=log2(-x+(-x)2+1)=log2(x2+1-x) =log2(x2+1+x)-1=-log2(x2+1+x)=-f(x), 故f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
4
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
3·e|x-1|-sin(x-1)
【例1-2】 (1)若函数f(x)=在区间[-3,5]上的最大值、最
e|x-1|小值分别为p,q,则p+q的值为( ) A.2
B.1
C.6
D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=________. 3e|x-1|-sin(x-1)sin(x-1)解析 (1)因为f(x)==3-,
e|x-1|e|x-1|sin(x-1)sin t
所以f(x)-3=-,∴f(t+1)-3=-e|t|,t∈[-4,4]. |x-1|
e
又f(t+1)-3为奇函数,所以它在区间[-4,4]上的最大值、最小值之和为0,也就是p-3+q-3=0,所以p+q=6. (2)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0, 即f(0)=20+m=0,解得m=-1. 故f(x)=2x-1(x≥0),
则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 答案 (1)C (2)-7
规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)=
2
+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性ax-1
5
第3节 函数的奇偶性与周期性
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)