1.2.2 空间两条直线的位置关系
【课时目标】 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义及判定定理,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明.
1.空间两条直线的位置关系有且只有三种:________、____________、____________. 2.公理4:平行于同一条直线的两条直线____________.
3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角________.
4.异面直线
(1)定义:________________________的两条直线叫做异面直线.
(2)判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是______________.
5.异面直线所成的角:直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使__________,__________,我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角.
如果两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,两条异面直线所成的角α的取值范围是____________.
一、填空题
1.若空间两条直线a,b没有公共点,则其位置关系是____________.
2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是______________. 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱共有________条. 4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连结四边中点的四边形的形状是________. 5.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是________. 6.有下列命题:
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行; ②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形; ③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直; ④若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,则OB∥O1B1. 其中正确命题的序号为________.
7.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β为________. 8.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中: (1)BC′与CD′所成的角为________; (2)AD与BC′所成的角为________.
9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
1
③EF与MN是异面直线; ④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
二、解答题
10.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点. 求证:(1)四边形MNA1C1是梯形; (2)∠DNM=∠D1A1C1.
11.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
能力提升
12.如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填序号).
13.如图所示,在正方体AC1中,E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是______.
2
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.
2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°,解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
1.2.2 空间两条直线的位置关系 答案
知识梳理
1.相交直线 平行直线 异面直线 2.互相平行 3.相等
4.(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线
5.a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 0°<α≤90° 作业设计
1.平行或异面
2.相交、平行或异面
解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.
3.6 4.矩形 解析
易证四边形EFGH为平行四边形.
又∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC, 又FG∥BD,
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角. 而AC与BD所成的角为90°,
∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
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高中数学 1.2.2空间两条直线的位置关系课时作业 苏教版必修2
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