( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 姓名: 学号: 学院: 班级: 东莞理工学院（本科）试卷（A卷） 2017--2024学年第一学期 《线性代数》试卷 考生承诺 我已了解《东莞理工学院考试管理规定》和《东莞理工学院学生违纪处分办法》中的有 关规定，并郑重承诺： 1、 已按要求将考试禁止携带的物品或与考试有关的资料放置在指定地点； 2、 不携带手机及各种具有通讯或存储功能的设备进入考场； 3、 考试期间遵守有关管理规定，若有违规行为，同意按照相关条款接受处理。 考生签名： 开课单位： 计算机与网络安全学院，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场 题序 得分 评卷人 一 二 三 总 分 得分 _____________ ________ 一、选择题 （共18分 每小题3分） 1. 设A，B都是n阶矩阵，若（ D ），则矩阵A与矩阵B相似。 A. A?B； B. R(A) = R(B)； C. A与B有相同的特征多项式； D. 存在可逆矩阵P，使得P?1AP?B. 2. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则?8A等于（ A ）。 A. (?8)nD; B. 8nD; C. 8D; D. (?8)n?1D. 3. 设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. (AB)k?AkBk; B. ?A??A; C. A2?B2?(A?B)(A?B); D. 若A可逆，k?0，则(kA)?1?k?1A?1. 4. 设A为m?n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是（ B ）。 A. R(A) = R(A , b)； B. R(A) = R(A , b) = n； C. R(A) = R(A , b) < n； D. R(A) = R(A , b) < m. 5. 下列不是向量组α1,α2,???,αs线性无关的必要条件的是（ B ）。 《 线性代数 》试卷 第1页 共7页 A. α1,α2,???,αs都不是零向量;
B. α1,α2,???,αs中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. α1,α2,???,αs中任意两个向量都不成比例; D. α1,α2,???,αs中任一部分组线性无关.
2226. 若二次型f(x1,x2,x3)?(k?1)x1正定，则k的取值?(k?1)x2?(k?2)x3范围为 ( A ). A. k?2 ; C. 1?k?2 ;
B. k?1; D. k??1.
二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）
?100??201??100???????2. ?010??140??001?= ?201???103??010????????210???104?? . ?350???得分 1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。 （请填“数表或数值”）
x113. 行列式1x1? (x+2)(x-1)2 或x3-3x+2 ．
x114. n元齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．
?1???2?????5. 设向量α??-2?，β=?2?正交，则?? -6 ．
?-1????????6. 任意n+1个n维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”） 7. 已知三阶方阵A的三个特征值分别为1,?1,2,则A?_-2_,
13A?2A?__.
2?1*三、计算题 （共60分）
?122???1. （10分） 设A??21?2?，
?2?21???得分 1) 判断A是否可逆；（4分）
《 线性代数 》试卷 第2页 共7页
线…………………………………… 2) 如果A可逆，请用初等行变换求出A-1.（6分）
解：1） 由于|A|=-27?0，所以A可逆。 (4分)
?1/92/92/9????12）用初等行变换求得A??2/91/9-2/9?。 （6分）
??2/9-2/91/9?? … :级…班… … … … … … … … … … :院…学… )… 题封 答… 不… … 内… 线… 封… 密… …( … :…号学…… … … … … … … 密 :名…姓………………………………………
20042. （10分）计算行列式D?31005010.
0232
解：将D的第三行的-3倍加到第四行，得：
20042004D?31003105010?050100232-15202
2004对31005010按第三列展开，得：
-15202404 D?310 -1522《 线性代数 》试卷 （3分）
第3页 共7页
2分）
（ 204将310第二行的-2倍加到第三行，得： -1522204D?310 （2分） -2102按第二列展开得
D?24-212?88。 （3分）
?1??0???2?3. （10分） 设α????????-1??1??1?,α2??4?,α3??4?,α4??1?，求出向量组α1,α?2,α3,α4?0????2????3????1??的秩与一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。
??10?2?1?解：令A??α1α2α3α?1441?4??用初等行变换将A ??0231?，
化成行标准形：???A??αα???10?2?1??10?2?1??10?2?1??11α2α3?1441??~??0462??~??0462??~?4?0??0231????0231????0000????0 （4分）
所以向量组的秩为2 ； （2分） 根据A的行标准形可得向量组α1,α2,α3,α4的一个极大无关组为α1,α2；（2分）
并且α+32α13=-2α12，α4=-α1+2α2. （2分）
《 线性代数 》试卷 第4页 共7页
0?213/200?1?2?0???1/……………………… 4. （15分）求解非齐次线性方程组
… … … … … 线 … :级…班… … … … … … … … … … :院…学… )… 题封 答… 不… … 内… 线… 封… 密… …( … :…号学…… … … … … … … 密 :名…姓………………………………………??2x1?x2?x3?x4?1?4x1?2x2?2x3?x4?2??2x1?x2?x3?x4?1
1) 写出非齐次线性方程组的增广矩阵A (2分)；
2) 对1)中的增广矩阵A做初等行变换，求其行标准形(5分)； 3) 求非齐次线性方程组导出组的一个基础解系(4分)； 4) 求非齐次线性方程组的通解(4分).
?21?11解：1）A??1??42?212? ??21?1?11?????21??1111? 2）A??111??2?202??42?212????00010??21?1?11???? ?00000??????1112?201?2?所以求得A的行标准形为??00010??? ?00000????
3）由2）可得该非齐次线性方程组导出组的基础解系由2个解向量构成，令x2,x3为自由未知量量；若x12?1,x3?0，得x1??2,x4?0，若x2?0,x3?1，得
《 线性代数 》试卷 第5页 共7页
?1??1???2??2?????1x1?,x4?0，则?1??1?,?2??0?为非齐次线性方程组导出组的一个基
2?0??1????0???0??????础解系。
?1??2???4）由2）可得非齐次线性方程组的一个特解为???0?，再结合3）可得非齐
?0???0?????x1???x2??次线性方程组的通解为：?k??k????x3?1122???x4?
5. （15分） 设f(x1,x2)?x1?x2?4x1x2，
22(k1,k1?)
1) 写出二次型的矩阵A；（2分）
2) 求出A的特征值和对应的特征向量. （8分）
3) 正交变换化二次型为标准形，写出所用的正交变换及标准形. （5分）
?1?2?解：1）二次型f 的矩阵A???.
?21??1???2?(??3)(??1),因此特 2）A的特征多项式为A??E??21??征方程为(??3)(??1)?0，解得A的特征值为?1?3,?2??1。
将?1?3代入齐次线性方程组(A??E)x?0，得该其次线性方程组的一个
??1?基础解系为?1???，因此A属于特征值?1?3的特征向量为k1?1，其中
?1?k1?且k1?0；
《 线性代数 》试卷 第6页 共7页
将?2??1代入齐次线性方程组(A??E)x?0，得该其次线性方程组的一个基础解系为?2???，因此A属于特征值?2??1的特征向量为k2?2，其中
1?1???k2?且k2?0.
3)由2）可知该二次型的矩阵的特征值均不相等，则?1,?2正交。将?1,?2单位化后得：
?1??1????2??1?22??,?2?? ???? ?1?||?1||?1?||?2||?1??????2??2??1??2令Q???1?2????1??21?2??，则Q为正交矩阵，因此，原二次型在正1??2?22交变换x?Qy作用下，化为标准形为：f(y1,y2)?3y1?y2.
《 线性代数 》试卷 第7页 共7页
2017-2024(1)线性代数期末考试-A卷参考答案
