第十七章 勾股定理 单元检测
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )． A．6,7,8 B．5,6,7 C．4,5,6 D．3,4,5 2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为( )． A．12 B．24 C．28 D．30
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为有理数的边数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )．
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论错误的是( )． A．△ABC是直角三角形，且∠B＝90° B．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
C．△ABC是直角三角形，且AC是它的斜边
D．△ABC的面积为60
6．下列命题的逆命题是真命题的是( )． A．若a＝b，则|a|＝|b| B．全等三角形的周长相等 C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形 7．三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )．
A．4 B．6 C．16 D．55
二、填空题(每小题4分，共20分)
9．如图，一棵树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有__________米高．
10．命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是__________，它是__________命题．
11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′
处．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，请写出a，b，c之间的一个等量关系为__________．
12．在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
三、解答题(共56分)
14．(本小题满分10分)如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
15．(本小题满分10分)为了减少交通事故的发生，“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速监测仪的距离为50 m，问这辆小汽车超速了吗？
16．(本小题满分12分)如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝
1AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论． 4
17．(本小题满分12分)[问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
图1
图2
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
[知识拓展]
利用图2中的直角梯形，我们可以证明
a?b?2.其证明步骤如下： c∵BC＝a＋b，AD＝__________，
又∵在直角梯形ABCD中有BC__________AD(填大小关系)，即__________， ∴
a?b?2. c18．(本小题满分12分)如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求： ①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积； ②正方形ABCD的面积．
(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？
参考答案
1. D 2. B 3. B 4. B 5.B 6. D 7. B 8. C 9. 8
10. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 真
11. c2＝a2＋b2 在Rt△A′B′E中，A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b， BF＝B′F＝B′E＝c，∴c2＝a2＋b2.
12. 41 13. 25
14. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝答：A，B两点间的距离是30 m. 15. 解：小汽车超速了．
AC2?BC2?502?402＝30(m)．
理由：由勾股定理，得BC＝AB2?AC2?502?302＝40， 所以小汽车的速度是40÷2＝20(m/s)． 因为20 m/s＝72 km/h＞70 km/h， 所以小汽车超速了．
16. 解：猜想△CMN是直角三角形． 设正方形ABCD的边长为4a， 则AM＝2a，AN＝a，DN＝3a. 在Rt△AMN中
由勾股定理得，MN2＝5a2.同理可得CN2＝25a2， CM2＝20a2.
所以MN2＋CM2＝CN2.
所以△CMN是直角三角形． 17. 解：[定理表述]
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. [尝试证明]
证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°. ∴∠AED＝90°.
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED， ∴
1111(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2. 2222整理，得a2＋b2＝c2. [知识拓展]
2c ＜ a＋b＜2c
1118. 解：(1)①S△ABQ＝AQ·BQ＝×3×4＝6，
2211S△BCM＝BM·CM＝×3×4＝6，
2211CN·DN＝×3×4＝6， 2211S△ADP＝DP·AP＝×3×4＝6.
22S△CDN＝
②S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP＝72－6－6－6－6＝25.
(2)验证了勾股定理，证明过程如下： 设AB＝c， S－
正方形
ABCD＝S
正方形
22
MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP，即c＝(a＋b)－
11ab－ab2211ab－ab， 22∴c2＝a2＋b2，
即直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边长的平方．
人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理
