中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及详细答案
一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G． （1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【解析】 【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值． 【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：
，
或
或
．
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3， 设直线AC解析式为y=kx+3， ∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴G（1，4），GH=4， ∴S△CGO=OC?xG=×3×1=， ∴S△CGE=S△CGO=×=2， ①若点E在x轴正半轴上， 设直线CG：y=k1x+3， ∴k1+3=4 得：k1=1， ∴直线CG解析式：y=x+3， ∴F（-3，0）， ∵E（m，0）， ∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=∴
=2，解得：m=1，
，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等， 即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离， ∴EF=-3-m=1-（-3）=4， 解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴， ∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）， ∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°， ∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3）， ∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?
，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ， ∴t-1-e=3e+3， ∴t=4e+4=
，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3）， ∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?∴t=AP=e-（-1）=?
+1＝
， ，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3）， 解得：e=?
，
，
或
或
．
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
2．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.
（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；
（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0 （1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据xo是函数y的一个不动点的定义，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可； （2）根据xo是函数y的一个不动点的定义得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可. （3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】 解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo， 98解得xo=-1或xo=3，所以函数y的不动点为-1和3； （2）因为y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0， 因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0 （3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2??A，B的中点的坐标为（ b ax1?x2x1?x2bb,,? ），即M（? ） 222a2aA、B两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A，B在直线y=x上， ∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上. ∴?bb= -2a+3 得：b=2a2-3a aa所以当且仅当a=【点睛】 39 时，b有最小值－ 48本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直. 3．如图，抛物线y??y轴交于点C. 122x?x?2与x轴相交于A，B两点，（点A在B点左侧）与22 （Ⅰ）求A，B两点坐标. （Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大. （Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，且使得以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的m,n的值. 【答案】（Ⅰ）A(?2,0),B(22,0)；（Ⅱ）S??2(t?2)2?42(0?t?22),2
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