第1课时 等差数列的前n项和
学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an? [提示] an＝{Sn－Sn－1n≥22．等差数列的前n项和公式 已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 S1n＝1
na1＋anSn＝ 2nn－1Sn＝na1＋d 2思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3
[提示] S3＝
a1＋a3
2
＝3a2＝21.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( ) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．( ) (3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×
提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n＋2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1. 又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.
2
2
2
nn＋1
2
[因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋
nn－1
22n＋n－nn＋nn×1＝＝＝
22
22
n＋1
2
.] 3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.
- 1 -
【导学号：91432163】
10
24 [由S10＝
a1＋a10
2
＝120.解得a1＋a10＝24.]
1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.
2
4×314×3
48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
22216×5
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
22
[合 作 探 究·攻 重 难]
等差数列前n项和的有关计算
在等差数列{an}中，
53
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
62(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
【导学号：91432164】
[解] (1)由题意得，Sn＝
na1＋an2
?53?n?－?
＝
?62?
2
＝－5，解得n＝15.
53
又a15＝＋(15－1)d＝－，
6211
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
668
(2)由已知得S8＝
a1＋a8
2
＝
8
4＋a8
＝172，解得a8＝39， 2
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. [规律方法] a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用. [跟踪训练] 1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
- 2 -
5×4??S5＝5a1＋d＝5，2[解] (1)?
??a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋
10×9
d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2
17×a1＋a1717×a3＋a1517×40
(2)S17＝＝＝＝340.
222
an与Sn的关系的应用
[探究问题]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？ 提示：使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n项和Sn表示？ 提示：a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015.
3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？
提示：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝?
??S1，n＝1，
??Sn－Sn－1，n≥2.
*
当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N)来表示．
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n－30n. (1)求a1及an.
(2)判断这个数列是否是等差数列.
【导学号：91432165】
思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．
[解] (1)因为Sn＝2n－30n，所以当n＝1时，
2
2
a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n－30n－[2(n－1)－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，
- 3 -
2
2
人教版2020高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案5
