10．（5分）已知函数f（x）＝A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） C．（﹣2，0）
+2x+1，且f（a）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（ ）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣1，3） +2x+1﹣＝
2
2
【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝
2
+2x，分析函数F（（x）
的奇偶性，单调性，f（a）+f（2a）＞3，转化为F（a）＞﹣F（2a），即可解出答案． 【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝
+2x+1﹣＝
+2x，
则F（0）＝f（0）﹣＝0，
又由F（﹣x）＝为奇函数； 又由F′（x）＝
+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）
＝＝＞0，
所以函数F（x）单调递增， 若f（a）+f（2a）＞3， 则f（a）﹣＞
22
，
f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]， F（a2）＞﹣F（2a）， F（a2）＞F（﹣2a），
所以a＞﹣2a， 解得，a＜﹣2或a＞0， 故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题． 11．（5分）已知函数f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f（x）的最大值为2． 其中正确结论的个数为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin或cos
＝0，x＝
cos或x＝
，函数的零点为方程sin
＝0
，x∈（0，π），进而得出结论，④用
反证法推出函数的函数最大值不是2．
【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sinx﹣sin（πx）＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数，①正确． 假设存在周期T，
则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sinx+sinπx， sin（x+T）﹣sinx＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]， 所以sin?cos存在x0∈R，使得cos将x0∈R，﹣sin由于故﹣sin
＝0，
＝0， ?cos
， ＝﹣sin
?cos＝0，而cos
＝0，
①， ≠0，
所以sin＝0，sin＝kπ，
＝mπ，k，m∈Z，
所以kπ＝m，矛盾，
所以函数f（x）＝sinx+sin（πx），没有周期，②错误．
f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin
函数的零点为方程sin
＝0或cos
cos， ＝0，
x＝x＝
或x＝，
或
，x∈（0，π） ，
所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确． 假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，
x0＝
即x0＝所以
且πx0＝且x0＝＝
，
，（k∈Z） ，
k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．
12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（ ） A．3
B．
C．
2
2
2
2
D．3
2
2
【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB＝h+4，BQ＝m+4，MQ＝（h﹣m）+4由MB＝BQ+MQ?m﹣hm+2＝0．△＝h﹣8≥0?h≥8，且h≤4，
2
2
2
2
2
2
可得S＝1+h，就可求出S最大值．
【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m， 则有MB＝h+4，BQ＝m+4，MQ＝（h﹣m）+4 由MB＝BQ+MQ?m﹣hm+2＝0．得h＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
＝m+①
△＝h﹣8≥0?h≥8，且h≤4， 即8≤h≤16，
2
22
S＝，
[（h﹣m）+4]×（m+4）
2
2
S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝
把①代入得
S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝
＝5+（+m）﹣4＝1+（+m）＝1+h， 所以S＝1+h∈[9，17]，
2
22
2
2
[+4]×（m+4）＝5+
2
S2max＝17， Smax＝
，
故选：C．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 60 种．（用数字作答） 【分析】6名选手中决出1名一等奖有数原理即可得答案．
【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有第二步，再决出2名二等奖，有第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则【分析】取BC的中点D，
＝（
+
）＝（（
+
）+
），
?⊥
＝
．
?
＝60种方法． 种方法，
种方法，
种方法，2名二等奖，
种方法，利用分步计
，再利用
两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果． 【解答】解：取BC的中点D，由条件得 +
）（ ?
﹣
）
?
＝（
+
）（?
﹣
）＝（（
+
）
＝﹣+＝﹣+?＝+0＝，
故答案为：．
【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质． 15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为 y＝x﹣1 ．
【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax0﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．
【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，
设P（x0，y0），则lnx0＝ax0﹣x0①，
2
2
2
2
f′（x0）＝g′（x0），即
联立①②消a得，lnx0＝令φ（x）＝lnx﹣
＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax0﹣x0②， ，
2
，φ′（x）＝+＞0，
易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0， 所以φ（x）＝lnx﹣
有唯一解1，即x0＝1，
则y0＝f（1）＝0，a＝1．
故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1． 故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 （0，±1） ；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为
．
【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．
【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，
广东省佛山市2020届高三数学上学期教学质量检测试题(一)理(含解析)
