又A1E?A1F，A1E?A1F，所以可以将四面体A1EDF补形为以A1D、A1E、A1F为棱的长方体，如图：
因为四面体A1EDF与长方体共一个外接球，所以长方体的对角线长是四面体A1EDF的外接球的直径的长，所以直径长为1?1?4?6，所以球的半径为6，所以该球2?6?. 的表面积为4????2???6???故答案为：6?. 【点睛】
本题考查了球的表面积公式，考查了补形法，考查了长方体的对角线长定理，属于基础题.
16．有以下命题：
①存在实数?，?，使得sin(???)?sin??sin?； ②“?n?N，2n?n?1”的否定是“存在n?N，2n?n?1”； ③掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数不小于3的概率为④在闭区间[?1,1]上取一个随机数x，则x(x?1)?0的概率为其中所有的真命题为________．（填写所有正确的结论序号） 【答案】①②④
【解析】根据三角函数的性质判断①；根据全称命题的否定形式判断②；根据古典概型的概率公式判断③；根据几何概型的概率公式判断④. 【详解】
对于①，当??2?时，sin(2???)?sin??sin2??sin?，即等式成立，所以①正
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21； 31． 2确；
对于②，根据全称命题的否定形式，所以②正确；
对于③，向上的点数不小于3，即点数为3，4，5，6，所以根据古典概型概率的计算公式得所求的概率为
42?，所以③错误； 63对于④，由x(x?1)?0得0?x?1，所以根据几何概型概率的计算公式得所求的概率为
1，所以④正确． 2故答案为：①②④ 【点睛】
本题主要考查了判断命题的真假，涉及了概率知识的应用，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列?an?中，a1?1，前n项和为Sn，对任意的自然数n?2，an是3Sn?4与2?3Sn?1的等差中项． 2（1）求?an?的通项公式； （2）求Sn．
?1?n?1?n?1?411??n?1【答案】（1）an???1?；（2）Sn?????.
??n?233?2??????2???【解析】（1）已知条件用等式表示为当n?2时，2an??3Sn?4???2???3?Sn?1?，用2?3??n?1替换n得2an?1?(3Sn?1?4)??2?Sn?，两式相减可得{an}从第二项开始成等
2??比数列，求出通项公式，a1不适合此式，用分段函数形式表示数列的通项公式； （2）n?2时，分组求和Sn?a1?(a2?达式． 【详解】
解：（1）由已知，当n?2时，2an??3Sn?4???2??an)，然后验证S1也适合上式，即得Sn表
??3?Sn?1?①， 2?所以2an?1?(3Sn?1?4)??2???3?Sn?②， 2?第 12 页 共 20 页
an?113??2a?2a?3a?a由②－①得n?1． nn?1n，∴an22…，an成等比数列，∴a2，a3，其中2a2?3S2?4??2?∴a2???3?3a1??3(1?a2)?4?2?，2?21， 2n?21?1?∴当n?2时，an????2?2??1???????2?n?1，
?1?n?1??又a1?1不符合此式，∴an???1?n?1．
??n?2?????2???1??1??1????2???2?n?1（2）当n?2时，S?a?a?…?a?a??a?????a??1?n12n12n?1?1?????2?????
1??1??1??1????3???2?n?1?41?1?n?1??????． ?33?2??041?1?当n?1时，S1?1?????也符合上述公式．
33?2?41?1?∴Sn?????33?2?【点睛】
本题考查由Sn与an的关系求数列通项公式，考查分组求和法．已知Sn与an的关系求数列通项公式一般都是利用an?Sn?Sn?1，化已知等式为{an}的递推式，得出数列的性质，从而求得其通项公式．但此种方法要注意a1?S1与此法不相同，故需验证a1． 18．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，BB1?2，E是棱CC1上的点，且CE?n?1．
1CC1． 4第 13 页 共 20 页
（1）求三棱锥C?BED的体积； （2）求证：A1C?平面BDE． 【答案】（1）
1；（2）证明见解析. 12【解析】（1）求出BCD的面积以及CE的长，最后由棱锥的体积公式，即可得出答案； （2）根据线面垂直的判定定理以及性质得出BD?A1C，由直角三角形的边角关系证明BE?B1C进而得出BE?A1C，最后由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】 （1）解：由CE?VC?BDE?VE?BCD11CC1? 4211111?SBCD?CE???1?1??． 332212（2）证明：连接AC，A1C，B1C． ∵AB?BC，∴BD?AC．
∵A1A?底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD?A1A． ∵A1AAC?A，A1A,AC?平面A1AC，∴BD?平面A1AC．
?平面A1AC，∴BD?A1C． ∵AC1∵tan?BB1C?BC1CE1?，tan?CBE??，∴?BB1C??CBE． B1B2CB2??∵?BB1C??BCB1?90，∴?CBE??BCB1?90，∴BE?B1C．
∵BE?A1B1，A1B1B1C?B1，A1B1,B1C?平面A1B1C
?平面A1B1C，∴BE?A1C． ∴BE?平面A1B1C，AC1∵BD?BE?B，BD,BE?平面BDE ∴A1C?平面BDE．
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【点睛】
本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题.
19．盒中有6个小球,3个白球,记为a1,a2,a3,2个红球, 记为b1,b2,1个黑球, 记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别. (1) 求从盒中取一球是红球的概率；
(2)从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率 【答案】（1）
11；（2）.
93【解析】（1）由题意此题为古典概型的概率题，先求出所有基本事件个数，再求出事件A包含的基本事件，利用古典概型事件的计算公式即可求得；（2）由题意记“两次取球得分之和为5分”为事件B，利用列举法求出事件的个数，再求出事件B的个数利用古典概率公式即可求得． 【详解】
（1）所有基本事件为a1,a2,a3,b1,b2,c1共计6个. 记“从盒中取一球是红球”为事件A, 事件A包含的基本事件为b1,b2,
?P(A)?21?. 631. 3∴从盒中取一球是红球的概率为
（2）记“两次取球得分之和为5分”为事件B， 事件B包含的基本事件为：
?a1,a1?,?a1,a2?,?a1,a3?,?a1,b1?,?a1,b2?,?a1,c1?， ?a2,a1?,?a2,a2?,?a2,a3?,?a2,b1?,?a2,b2?,?a2,c1?， ?a3,a1?,?a3,a2?,?a3,a3?,?a3,b1?,?a3,b2??a3,c1?，
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)样卷(四)(解析版)
