上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数, ∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=??1?x,x?[?1,0]，是否满足题设条件？
?1?x,x?[0,1]解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u =
31?[–1，1]，v = ?[–1，1], 425| u – v | > | u – v |， 4则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：
0 / 10
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;
40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? x?10 ).
(1) 求证：| ac | ? 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –
1x?1, 法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1–
1x1x–1 + 1= ?x2. 2?1x1?1(x2?1)(x1?1)∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =
1(x?1)2> 0 得x ? –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?
4|a| > 0 , 4 ∴f (| c | ) ? f (4|a|) = |a|4= 4|a|?4
|a|?1f ( | a | ) + f ( | c | ) =
|a|4|a|4|a|?1+ |a|?4> |a|?4+|a|?4=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）
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432设定义在R上的函数f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4（其中ai∈R，
i=0,1,2,3,4），当
x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横
坐标都在区间??2,2?上；
2，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． 3??2n?12(1?3n)4,y?(n?N)（3） 若xn?，求证：f(x)?f(y)?. n+nn2n3n3解：（1）f(x)?13x?x.…………………………5分 3????2?2?或0,0,?2,.…………10分 ????????3?3?? （2）?0,0?,?2,? （3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）
4.……15分 3x2y2??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的设M是椭圆C:124对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),
则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分
?x12???12 ?2?x2???12y12?1,42y2?1.4(1)………………………………………………………3分
(2)13 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.………………………………6分 又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??x1y,所以kQN?1. y13x1 直线QN的方程为y?y1x(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??1x.……10分
y13x12 / 10
上海高考数学(函数)经典压轴题解析详解
