3.1.1 方程的根与函数的零点
[教材分析]
这节课是数学必修1第三章函数的应用第一节函数与方程的第1课时，教材前两章系统地介绍了函数的概念及性质，本章重在体现函数的应用.本节课是介绍函数的第一个应用，利用方程的根与函数零点的关系，我们可以解决一些方程的求根问题.初中已经学过二次函数图象与一元二次方程的根的关系，在此基础上给出了函数零点的概念，并得出方程的根与函数零点的关系，过程体现从特殊到一般思想方法.
[学情分析]
授课对象为高一（7）、（8）班，该班学生在数学理解力上较其他层次有明显差异，数学基本功底较差，而且班级里学生也参差不齐，好的跟差的差距非常明显，在试教上存在一定难度，要克服这么些问题，越发需要制定详细周全的教学计划.从教学反馈来看，学生对前两章内容的掌握情况比较差，存在对函数概念理解不到位，函数的基本性质不理解以及如何去讨论，显然，这对第三章的学习亦或是后期的学习很不利的，因此，在这章必须将前面的知识点点滴滴渗透进来.学生相当熟悉一元二次方程和二次函数，因此本节课用一元二次方程根和二次函数与x轴交点横坐标引入并且归纳出一般函数零点与方程根的联系显得比较自然.
[教学目标]
1.知识与技能：理解函数零点的概念；会利用方程的根与函数零点的关系解决一
些方程根的问题或函数零点问题；掌握函数零点的判断方法，并
会判断零点的个数.
2.过程与方法：通过二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，总
结得到一般方程根与函数零点的联系.
3.情感态度与价值观：经历从观察到发现到归纳结论，体会数学探究的过程，体
味数学的乐趣.
[教学重难点]
1.教学重点：由二次函数图象来判断一元二次方程根的存在性及个数；理解函数
零点概念及方程的根与函数零点的联系；函数零点存在定理.
2.教学难点：函数零点概念及方程的根与函数零点的联系；函数零点存在定理及
函数零点个数的确定.
[教学过程]
期中考过后，接下来的功课有点紧了，大家在前面的学习状态我也看到了，不过 我希望大家在后来要加把劲. 1.问题引入
师：我们来看几个一元二次方程：x2?2x?3?0,x2?2x?1?0,x2?2x?3?0，你 们想知道它们的什么？（生：根）那好，快速算下.
相应的二次函数y?x2?2x?3,y?x2?2x?1,y?x2?2x?3，你能准确地画出它们 的函数图象吗？（生：基本无反应）画出对称轴，描出图象上几个点（一般是顶 点，与y轴交点，与x轴交点）.
2.新知探索
师：观察一元二次方程ax2?bx?c?0的根与二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图 象的关系？
生：①方程x2?2x?3?0的两个实数根就是函数y??x2?2x?3的图象与x轴交 点的横坐标；
②方程x2?2x?1?0的实数根就是函数y??x2?2x?1的图象与x轴交点的横坐 标；
③方程x2?2x?3?0无实数根，函数y?x2?2x?3的图象与x轴没有交点. 师：一元二次方程ax2?bx?c?0的根，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)与x轴的 交点有着怎样的关系？请同学们来总结下有哪些情况？
生：当△>0时，方程ax2?bx?c?0的两个实数根就是函数y?ax2?bx?c(a?0) 与x轴交点的横坐标;
当△=0时，方程ax2?bx?c?0的实数根就是函数y?ax2?bx?c(a?0)与x轴交 点的横坐标；
当△<0时，方程ax2?bx?c?0无实数根，即函数y?ax2?bx?c(a?0)与x轴无 交点.
师：那么对于一般情形，函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系怎么描 述？
生：方程f(x)?0有实数根等价于函数y?f(x)的图象与x轴有交点。 师：我们现在先给出函数零点的概念：
对于函数y?f(x)，我们把使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)的零点. 我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点呢？
311方程的根与函数的零点
