活页作业(九) 一般形式的柯西不等式
一、选择题
149
1．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )
xyzA．24 C．36
B．30 D．48
?149?解析：∵(x＋y＋z)?＋＋?≥
?xyz?
?x·1＋y·2＋z·3?2
??＝36，
xyz??
149yz1
∴＋＋≥36，当且仅当x＝＝＝时等号成立． xyz236答案：C
2．设实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，且a＋b＋c＋
2
2
2
d2＋e2＝16，则e的最大值是( )
16
A．
5C．5
2
5B． 16D．16
2
2
2
2
2
解析：由已知，得a＋b＋c＋d＝8－e，a＋b＋c＋d＝16－e.所以(8－e)＝(a＋b＋c＋d)≤(a＋b＋c＋d)(1＋1＋1＋1)＝4(16－e)，当且仅当a＝b＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c＝d＝2或时等号成立．
162
化简，得5e－16e≤0，即0≤e≤. 516
所以emax＝. 5答案：A
3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则
2
2
2
2
2
2
65
a＋b＋c的值为( )
x＋y＋z1
A． 41
C． 2
2
2
2
1
B． 33D． 4
2
2
2
解析：由题意，可得x＋y＋z＝2ax＋2by＋2cz.上式与a＋b＋c＝10相加，可得(x 1
－a)＋(y－b)＋
22
x－a＝a，??2
(z－c)＝10.不妨令?y－b＝b，
??z－c＝c，
则x＋y＋
a＋b＋c1
z＝2(a＋b＋c)，即＝.
x＋y＋z2
答案：C
4．设a1，a2，…，an为正实数，P＝
a1＋a2＋…＋ann，Q＝，则P，Q之间
n111
＋＋…＋a1a2an的大小关系为( )
A．P>Q C．P B．P≥Q D．P≤Q 1??11 解析：∵(a1＋a2＋…＋an)?＋＋…＋?≥ ?a1a2an? (1＋1＋…＋1n 个)＝n， ∴ 22 a1＋a2＋…＋ann≥， n111 ＋＋…＋a1a2an即P≥Q. 答案：B 二、填空题 5．设a，b，c为正实数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值为________. 解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴(a＋b＋4c)?1＋1＋?(2c)]?1＋1＋? 2 2 2 ? ? 22 ?1?2?22 ??＝[(a)＋(b)＋?2?? ?? 22 ab?1?2?2 ??≥(a＋b＋2c)，当且仅当1＝1＝ ?2?? 2c55102 时取等号．∴(a＋b＋2c)≤1×＝，即a＋b＋2c≤. 12222答案： 10 2 2 2 2 6．已知x＋y＋z＝14，则|x＋2y＋3z|的最大值是________. 解析：∵(x＋2y＋3z)≤(1＋2＋3)(x＋y＋z)＝14(x＋y＋z)＝14，当且仅当＝12＝时取等号，∴|x＋2y＋3z|≤14. 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xyz答案：14 三、解答题 7．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求x＋4y＋z的最小值． 解：由柯西不等式，得 (x＋4y＋z)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z). ∵x＋2y＋z＝1， 1222222 ∴3(x＋4y＋z)≥1，即x＋4y＋z≥， 3 1111 当且仅当 x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立． 33631222 故x＋4y＋z的最小值为. 3 111 8．已知a1，a2，…，an是平面凸n边形的内角的弧度数，求证：＋＋…＋≥ 2 2 2 2 2 2 2 n2 a1a2ann－2π . 证明：由凸多边形的内角和定理，得 a1＋a2＋…＋an＝(n－2)π， 1??11 ∴(a1＋a2＋…＋an)?＋＋…＋?≥ ?a1a2 2 2 an? (1＋1＋…＋1n个1)＝n. ∴＋＋…＋≥1 1 1 n2 a1a2ann－2π ， 当且仅当a1＝a2＝…＝an＝ n－2π 时取等号． n 一、选择题 ?abc??bca?1．已知a，b，c为正数，则?＋＋??＋＋?有( ) ?bca??abc? A．最大值9 C．最大值3 B．最小值9 D．最小值3 ?abc??bca???解析：?＋＋??＋＋?＝?? ?bca??abc??? c?2? ?＋? b?? a?2??＋? b?? a· bb?2??＋? c??b＋ ac?2??? a??b· cc＋ bc· aa?2?＝c? ???? ?? 9. b?2??＋? a??a?2????≥? c??? 答案：B 2．设非负实数a1，a2，…，an满足a1＋a2＋…＋an＝1， 3 则y＝ 222＋＋…＋－n的最小值为( ) 2－a12－a22－anB． 2n＋12nD． 2n－1 2 A． 2n－1 nnn＋1C． 2n－1 解析：因为(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an) ＝2n－(a1＋a2＋…＋an)＝2n－1， 所以(2n－1)? ?1＋1＋…＋1? ?2－an??2－a12－a2 ＝[(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)] ?1＋1＋…＋1?≥ ?2－a12－a2 2－an??? ?2－a1·1＋2－a2·1＋…＋2－an· ? 2－a12－a2? ?22?＝n. 2－an? 2 2 1 2n2nn所以y＋n≥，即y≥－n＝， 2n－12n－12n－11 等号当且仅当a1＝a2＝…＝an＝时成立． n从而y有最小值. 2n－1答案：A 三、填空题 n?1?2?1?2?1?2 3．设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则?a＋?＋?b＋?＋?c＋?的最小值是 ? a? ?b??c? ________. 1222 解析：原式＝(1＋1＋1) 3 ??a＋1?2＋?b＋1?2＋?c＋1?2?≥ ??a??b??c?????????? 1??1??1??1??2 1·?a＋?＋1·?b＋?＋1·?c＋??＝ ?3??a??b??c??1??111??2 ?1＋?＋＋??＝ 3??abc??1??1＋3? a＋b＋c?＋＋??2≥ ?abc?? 4 ?111?? 111?2?21??a·＋b·＋c·?1＋???＝ 3??abc??110022 ×(1＋3)＝， 33 1 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 3100答案： 3 1 4．边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s＝a＋b＋c，t4111 ＝＋＋，则s与t的大小关系是________. abc解析：S＝ abcabc1 ＝＝，即abc＝1， 4R44 2 所以t＝ab＋bc＋ca，则t＝(ab＋bc＋ca)· ?1＋1＋1?≥(a＋b＋c)2＝s2， ?abc??? 当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 因为a>0，b>0，c>0，所以s≤t. 答案：s≤t 三、解答题 5．已知△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R. 求证： (a＋b＋c)? 2 2 2 ?12＋12＋12?≥36R2. ? ?sinAsinBsinC? a证明：由正弦定理，得sin A＝. 2R14R所以2＝2. sinAa14R14R同理2＝2，2＝2. sinBbsinCc由柯西不等式，可得 4R4R4R??2R2R2R?2?2 ＋＋a·＋b·＋c·左边＝(a＋b＋c)?2＝36R. 22?≥??bc??abc??a2 2 2 2 2 2 2 2 2 原不等式得证． 6．设x，y，z∈R，且 x－1 16 2 ＋ y＋2 5 2 ＋ z－3 4 2 ＝1. 求x＋y＋z的最大值和最小值． 解：根据柯西不等式，知 5
人教版2020高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式活页作业9 北师大版选修4-5
