2.1.2 指数函数及其性质
【学习目标】
1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．
2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．
3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
4．熟练掌握指数函数的图象和性质．
5．会求指数型函数y＝ka(k∈R，a＞0且a≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性． 6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．
【自主梳理】
x1．函数y＝a(a＞0，且a≠1)叫做__________，其中x是自变量．
因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______． 2．底数为什么不能是负数、零和1? (1)当a＜0时，如y＝(－2)，当x＝
xxx11，，…等时，在实数范围内函数值不存在； 24(2)当a＝0时，若x≤0，y＝0无意义；
(3)当a＝1时，y＝1＝1是一个常数，没有讨论的必要．
3．在指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的表达式中，a的系数必须是1，自变量x在指数的位置上．
xxxx例如：函数y＝2，y＝(2)是________；但y＝2·3，y＝2＋1等不是指数函数．
xxx答案：1.指数函数R 3.指数函数 【重点领悟】
4．指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的图象和性质： (1)图象
x
(2)性质
5．将函数y＝2的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象．
x6．设f(x)＝a(a＞0且a≠1)，则有： ①f(0)＝______，f(1)＝______； ②若x≠0，则__________________； ③若x≠1，则__________________； ④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.
7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________. 答案： 5．y＝2
x－1
x
6．①1 a ②f(x)＞0且f(x)≠1 ③f(x)＞0且f(x)≠a ④x∈R
N(1＋p)x y7.
【探究提升】
1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？
解析：形如y＝a(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，a是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R. 2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？ 解析：①如果a＝0，
xx11②如果a＜0，比如y＝?-4?，这里对于x＝4，x＝2，…，在实数范围内函数值不存在．
x③如果a＝1，比如y＝a＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.
3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？
解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．
4）．指数函数y＝2的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？ [0，＋∞)
xx
高中数学必修一《指数函数及其性质》导学案
