高考总复习总结离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列
一、知识梳理 1.随机变量的概念
如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母?,?等表示. (1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.
(2)若?是随机变量,??a??b,其中a,b是常数,则?也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列
(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,?,xi,?,?取每一个值xi(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi,则称表 ξ x1 x2 p2 … … xi … … P p1 pi 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. (2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次
kkn?k的概率是P(??k)?Cnpq.
其中k?0,1,2,?,n,q?1?p,于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ P 0 C0np0qn 1 C1np1qn-1 … … k Cknpkqn-k … … n Cnnpnq0 kkn?k?B(k,n,p). 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作?~B(n,p),其中n,p为参数,并记Cnpq 二、点击双基
1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ D ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点
C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 2.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为: ξ P 则q?( D ) -1 0.5 0 1-2q 1 q2 A.1 B.1±
222C.1+D.1-
2 2 21,k?1,2,?,则P(2???4)?(A ) 2k3111A. B. C. D. 1641653.已知随机变量ξ的分布列为P(??k)?1 / 7
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4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为_____________. 二项分布，即ξ—B(5,0.1),ξ的分布列如下:
ξ P 0 0.95 1 0.5×0.94 2 0.1×0.93 3 0.01×0.92 4 4.5×0.14 5 0.15 5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,
P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1.
∴分布列为 ξ P 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 0.000 9 5 0.000 1 例题分析： 【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.
解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两
C4263只，故有P（ξ=1）=3==;
C5105 当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，
C323故有P（ξ=2）=3=;
C510 当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故
C221有P（ξ=3）=3=.
C510 因此，ξ的分布列如下表所示： ξ P 1 2 3 3 53 101 10讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).
【例2】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为(1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望Eξ; (2)求乙至多击中目标2次的概率;
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,
21,乙每次击中目标的概率为.
321).(2)“乙至多2击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.
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解:(1)P(ξ=0)=C03(
131131311)=; P(ξ=1)=C13()3=; P(ξ=2)=C23()3=; P(ξ=3)=C33()3=. 282828280 1 2 3 ξ的概率分布如下表: ξ P 18 38 38 1 81), 21 ∴Eξ=3×=1.5.
2 ∵ξ—B(3,
(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C33(
2319)=. 273311×+×8278 (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B2,则A=B1+B2,B1、B2为互斥事件,∴P(A)=P(B1)+P(B2)=
21=. 924 ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
1. 24讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值xi(i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=xi)=pi;(3)列成表格.
【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.
解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n. ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 … … n-1 n s s?tst(s?t)2 st2(s?t)3 stn?1(s?t)n tn n(s?t) (2)ξ的数学期望为 stst2stn?1tns Eξ=0×+1×+2×+…+(n-1)×+n×. ① 2nn3(s?t)s?t(s?t)(s?t)(s?t)tst2st2(n?2)stn?1(n?1)stnntn?1 Eξ=++…+++. ②
(s?t)3(s?t)4s?t(s?t)n(s?t)n?1(s?t)n?1t(n?1)tn(n?1)tnntn?1 ①-②,得Eξ=+--. n?1nnss(s?t)(s?t)s(s?t)讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.
习题精练：
1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号
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