第一章 热力学的基本规律
习题1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?T。 解：由PVnRTnRT ;P?PV1?V1nR1所以, ??()P??
V?TVPT1?PRn ??()V??1/T
P?TPV1?V1?1 ?T??()T??nRT2?1/P
V?PVP V??nRT得：习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质T,p,其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温
压缩系数?T,根据下述积分求得:lnV??(?dT??Tdp)如果??1T
??T1 ,试求物态方程。 p解： 因为
f(T,V,p)?0,所以,我们可写成V?V(T,p),由此,
dV?(?V?V1?V1?V)pdT?()Tdp, 因为??()p,?T??()T ?T?pV?TV?pdV?V?dT?V?Tdp,dV??dT??Tdp V 所以,
所以,
lnV???dT??Tdp,当??1/T,?T?1/p. lnV??dTdp?,得到:pV?CTTp
习题1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
??4.85*10?5K?1n和
?T?7.8*10?7pn?1，?,?T可近似看作常量，今使铜块加热至10°C。问（1压强要增加多少p使铜块体积不变？（2若压强增加100
才能
pn，铜块的体积改多少
解：分别设为xpn;?V，由定义得：
x?T?4.858*10?4;?V?4.85*10?4?100*7.8*10?7
所以，x?622pn,?V?4.07*10?4
习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力?，物态方 程是常在1pn下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为?其中
f(?,L,T)?0实验通
?1?LL??()?等杨氏摸量定义为Y?()TL?TA?LA是金属丝的截面积，一般说来，?和Y是T的函数，对?仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范
不大，可看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由
T1降T2时，其张力的增加为
????YA?(T2?T1)
解：
f(?,L,T)?0,L?L(?,T)
所以，
dL?(?L?L)Td??()?dT ???T
因
(??1?LL)T?;()T??L?L??AY()T???LLL??()?;dL?d??L?dT?TAY
dL?0;所以,所以,
d????dT,d???AY?dT AY????YA?(T2?T1)
pn之间，测得水的体积
1mol的水从
习题1.7在25?C下，压强在0至1000
V?(18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2)cm3mol?1如果保持温度不变，将
1
pn加压至1000pn，求外界所做的功。
p解：外界对水做功:
W??Vdpp01000Pn?Pn?3?8?(18.066?0.715?10P?4.6?10?13p)dp 3?33.1J习题1.8解：外界所作的功：
LW?L0??LL02?J?dL??bT??2?dL
?L?L0?0L?L
2?L056TL0L2L0??bT?L???bT2??0882L??0??L0L
习题1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来大气中的U0之差为U其中V0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。
?U0?p0V0，
解：假设先前的气体状态是（P0，dV0,T0）内能是u0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P0,dV,T）
这时的内能为u，压缩气体所做的功为：
0p0dV0 ,依绝热过程的热力学第一定律， 得
?U?U0???P0dV0?0
V0积分得
对于理想气体，上式变为
故有
U?U0?p0V0 vcV?T1?T0??vRT0
cVT1??cV?R?T0
所以
T1?cPT0??V0 cVV0T1??V0 T0对于等压过程
V1?习题1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A→B 等温过程
Q1?B→C 绝热过程 C→D 等温吸热
M?RT1lnVAVB
Q2?M?RT2lnVDVC
D→A 绝热，
??Q1Q1?AQ1?Q2VA?VB?VVMMRT1lnA?RT2lnD?VB?VCMRT1ln由绝热过程泊松方程：
T1VB∴
r?1?T2VC；
r?1 ；T2VDr?1?T1VAr?1
VBVA?VCVDVAVD?VBVC
∴??T1T?T2?T2T2?1?1?T1?T2T1?T2T1?T2
将功A直接转化为热量Q1，令高温物体吸收。有A=Q1 ∴??Q1?1。 A习题1.16假设理想气体的Cp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：
lnF?T???解：准静态绝热过程中：dQdT???1?T
?0，∴dU??pdV (1)
对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 物态方程
dU?CvdT (2)
pV?nRT?P?nRTV (3)
(2)，(3)代入(1)得：
CVdT?nR?nRT） dV （其中CV???1VnRCVdV1??1??dT?dT?dT
???1?TVnRTnRT??dV?V1????1?dT
关系式
lnV?1??1dT???1??为T的函数 ∴V-1为T的函数。∴F(T)?第二章 均匀物质的热力学性质
1 F(T)V?1。 V度保持不变时,该气体
习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温的熵随体积而增加。 解：由题意得：
p?k(V)T?f(V)。
因V不变,T、p升高,故k(V)>0 据麦氏关系(2.2.3)式得:
(?S?p)T =()V?V?T =k(V) (k(V)>0)
?S??k(V)dV?g(T);
由于k(V)>0, 当V升高时(或V0→V,V>V0),于是
?k(V)dV?0
?T不变时,S随V的升高而升高。
2.3设一物质的物态方程具有以下形式P解：
?f(V)T，试证明其内能与体积无关。
?U(V,T)?P)T =T()V - p = Tf(V)?Tf(V) =0 得证。
?V?T?S?S习题2.4求证： <0 (ⅱ) ()()U >0
(ⅰ) ?PH?V证: 由式(2.1.2)得： dH?TdS?VdP
P?f(V)T ，(
等H过程:(TdS)H??(VdP)H
?SV）H=-<0 (V>0; T>0)
?PT由基本方程：dU?TdS?PdV
1p?dS?dU?dV;
TT?（
?（
?S?V）U=
pT>0.
习题2.5已知
(?U?U)T=0。 )T =0 , 求证 (?p?V解： 由式(2.2.7)得：
((?U?p)T=T()V?V?T?(U,T)?U)T =
?(V,T)?V-p;
?(
?U?p)T=0 ; p?T()V ?V?T=
?(U,T)?(p,T)?U?p)T()T =0=(?(p,T)?(V,T)?p?V ∵
(?U?p)T=0。 )T≠0 ; ?(?p?V随体积的增减。
习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度解： F=U-TS, 将自由能F视为P,V的函数; F=F(p,V)
dF?dU?TdS?SdT?TdS?pdV?TdS?SdT(p,V)
??SdT(p,V)?pdV
热力学与统计物理答案
