第三章 §2
一、选择题
1．如果函数y＝f(x)在点(3,4)处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则f′(3)等于( ) A．2 C．－2 [答案] C
[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f′(3)＝－2，故选C.
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( ) A．f ′(x0)＞0 C．f ′(x0)＝0 [答案] B
1
[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x0)＝－<0，故选B.
217
3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
33A．30° C．135° [答案] B
111Δy1
[解析] Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－(Δx)2＋(Δx)3，＝1－Δx＋(Δx)2，
333Δx3
Δx0
1
B．－
21D． 2
B．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在
B．45° D．60°
lim →
Δy1
＝lim (1－Δx＋(Δx)2)＝1， ΔxΔx→03
71
－1，－?处切线的斜率是1，倾斜角为45°∴曲线y＝x3－2在点?. 3??31
4．函数y＝x＋在x＝1处的导数是( )
xA．2 C．1 [答案] D
[解析] Δy＝(Δx＋1)＋Δy1＝1－， ΔxΔx＋1
－Δx1
－1－1＝Δx＋， Δx＋1Δx＋1
5
B． 2D．0
Δx0
lim →
Δy?1－1?＝1－1＝0， ＝lim
ΔxΔx→0?Δx＋1?
1
∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.
x
5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 [答案] A
[解析] 由已知点(0，b)是切点． Δy＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b ＝(Δx)2＋aΔx， ∴
ΔyΔy＝Δx＋a，y′|x＝0＝lim ＝a. ΔxΔx→0Δx
B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
∵切线x－y＋1＝0的斜率为1，∴a＝1. 又切点(0，b)在切线上，∴b＝1.
6．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为( )
A．－4.8m/s C．0.88m/s [答案] A
22
Δs2[1－?1.2＋Δt?]－2?1－1.2?
[解析] ＝
ΔtΔt
B．－0.88m/s D．4.8m/s
＝－4.8－2Δt，
Δs
当Δt趋于0时，趋于－4.8，故物体在t＝1.2s末的瞬时速度为－4.8m/s.
Δt二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12
?2＋Δx?3＋2－23－2
[解析] f ′(2)＝lim ΔxΔx→0?2＋Δx－2?[?2＋Δx?2＋?2＋Δx?·2＋22]
＝lim
ΔxΔx→0＝lim[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4] →
Δx0Δx0
＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12. →
8．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________. [答案] 1
[解析] 设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.
???2x0＝－2?x0＝－1
?由?，得，即P(－1,1)， 2
??y＝xy＝1?0?00
又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上， 故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1. 三、解答题
9．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a的值．
12332
－，?或(1,1) (2) [答案] (1)??327?27
[解析] (1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)． f ′(x)＝lim →
Δx0
f?x＋Δx?－f?x?
Δx
?x＋Δx?3－?x＋Δx?2＋1－?x3－x2＋1?
＝lim
ΔxΔx→0＝3x2－2x.
1
由题意知，k＝1，即3x20－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1. 3123
－，?或(1,1)． 于是切点的坐标为??327?
12323132－，?时，＝－＋a，∴a＝； (2)当切点为??327?27327当切点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)． 32123
∴a的值为，切点坐标为(－，)．
2732710．求下列函数的导数．
(1)求函数y＝x在x＝1处的导数； (2)求y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数． 1
[答案] (1)y′|x＝1＝ (2)y′＝2x＋a
2
[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy＝1＋Δx－1， 1＋Δx－1Δy1＝＝. ΔxΔx1＋Δx＋1
Δx0
lim＝→
111
＝，∴y′|x＝1＝.
21＋Δx＋12
解法二：(导函数的函数值法)：Δy＝x＋Δx－x，
Δyx＋Δx－xΔx＝Δx＝1x＋Δx＋x. ∴limΔy
1Δx→
0
Δx＝Δxlim→0
x＋Δx＋x＝1
2x. ∴y′＝12x
，∴y′|1
x＝1＝2.
(2)y′＝?x＋Δx?2＋a?x＋Δx?＋b－?x2＋ax＋b?
Δxlim→0 Δx ＝x2＋2x?Δx?＋?Δx?2＋ax＋a?Δx?＋b－x2－ax－b
Δxlim→0 Δx
2x?Δx?＋a?Δx?＋?Δx?2
＝Δxlim→0 Δx＝Δxlim→0 (2x＋a＋Δx)
＝2x＋a.
一、选择题
1．曲线y＝12x2－2在点(1，－3
2)处切线的倾斜角为( )
A．1 B．π4 C.5
4π D．－π4
[答案] B
[解析] 由导数的定义可知f′(x)＝x， 所以f′(1)＝1＝tanθ，故θ＝π
4
. 2．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则a
b的值为( A.23 B．－2
3
C.13 D．－13
[答案] D
[解析] 由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3， 由条件知，3×aa1
b＝－1，∴b＝－3
. 3．已知函数y＝f(x)的图像如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA) C．f′(xA)＝f′(xB) [答案] B D．f′(xA)>f′(xB)>0 [解析] f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，故f′(xA) ?Δx＋x?3－2?Δx＋x?＋1－x3＋2x－1∵f′(x)＝lim ΔxΔx→0?Δx?3＋3x·?Δx?2＋3x2·Δx－2Δx ＝lim ΔxΔx→0 22 ＝lim ((Δx)＋3x·Δx＋3x－2) → Δx0 B．y＝－x＋1 D．y＝－2x＋2 ＝3x2－2， ∴f′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y＝x－1. 二、填空题 5．函数y＝f(x)的图像在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________. [答案] 2 [解析] 由条件知，f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f(5)＋f ′(5)＝2. 6．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f[f(0)]＝__________；lim → Δx0 f?1＋Δx?－f?1? ＝________.(用数字作答) Δx [答案] 2 －2 [解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义． ??－2x＋4 ?0≤x≤2? 易知f(x)＝?， ?x－2 ?2 ∴f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim → Δx0 f?1＋Δx?－f?1? ＝f′(1)＝－2. Δx三、解答题 1 7．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求 t－x(1)曲线在点P处的切线的斜率．
2015-2016高二数学北师大版选修1-1习题3.2《导数的概念及其几何意义》
