∴AB＝AD·AE＝na·a＝na， ∵AB＞0， ∴AB＝na， ∴
22
ADna＝＝n； ABnan(3)解：若AD＝4AB，则AB＝a，
4
如解图②，当点F落在线段BC上时，EF＝AE＝AB＝a.
第8题解图②
此时a＝a，∴n＝4，
4
∴当点F落在矩形内部时，n＞4.
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上， ∴∠FCG＜∠BCD， ∴∠FCG＜90°.
①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，
nAD4AB由(2)得＝n，即＝n，
ABAB∴n＝16；
②如解图③，若∠CGF＝90°，则∠CGD＋∠AGF＝90°，
第8题解图③
∵∠FAG＋∠AGF＝90°， ∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE. ∵∠BAE＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DGC， ∴
ABAE＝， DGDC∵DG＝AD－AE－EG＝na－2a＝(n－2)a， ∴AB·DC＝DG·AE， 即(a)＝(n－2)a·a， 4
解得n1＝8＋42，n2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．
综上所述，当n＝16或n＝8＋42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
n2
9.如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
第9题图
解：(1)PM＝PN，PM⊥PN；
【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE，
∵M，P，N分别为DE，DC，BC的中点， ∴PM//CE 且PM=
11CE，PN∥BD且PN=BD， 22∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，
∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN， ∵∠A＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°， ∴PM⊥PN；
(2)△PMN为等腰直角三角形．
理由如下：由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点， ∴PM是△CDE的中位线，
1CE， 21同理PN∥BD且PN=BD，
2∴PM∥CE且PM=
∴PM＝PN，
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD， ∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋ ∠ACB＝90°，
∴△PMN为等腰直角三角形； 49(3).
2
【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形， 12
∴S△PMN＝PM ，
2
要使△PMN的面积最大，即PM最大，
1
由(2)得，PM＝CE，即当CE最大时，PM最大．
2
如解图，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CE＝AE＋AC＝AD＋AB＝14，
第9题解图
11
∴PM＝CE＝×14＝7，
22
149
故△PMN的最大面积为S△PMN＝×7×7＝. 22
10.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.
(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； ②求EF的长．
第10题图
解：(1)如解图①，
∵折叠后点A落在AB边上的点D处，
第10题解图①
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF， ∴S△AEF＝S△DEF，
∵S四边形ECBF＝3S△EDF， ∴S四边形ECBF＝3S△AEF，
∵S△ACB＝S△AEF＋S四边形ECBF，
∴S△ACB＝S△AEF＋3S△AEF＝4S△AEF， S1∴△AEF?， S△ACB4∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°， ∴△AEF∽△ABC， SAE2（）， ∴△AEF?S△ACBABAE21 ）=，AB4在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
222
∴AB＝AC＋BC，
∴（即AB＝4＋3＝5， AE21∴()＝，
545∴AE＝；
2
(2)①四边形AEMF是菱形． 证明：如解图②，
22
∵折叠后点A落在BC边上的点M处， ∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME， 又∵MF∥CA，
∴∠CEM＝∠EMF， ∴∠CAB＝∠CEM， ∴EM∥AF，
∴四边形AEMF是平行四边形，而AE＝ME， ∴四边形AEMF是菱形，
第10题解图②
②如解图②，连接AM，与EF交于点O，设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x， ∵∠CEM＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°， ∴Rt△ECM∽Rt△ACB， ∴
ECEM＝， ACAB∵AB＝5，
204-xx解得x＝， ?，9452016
∴AE＝ME＝，EC＝，
99∴
在Rt△ECM中，∵∠ECM＝90°，
∴CM ＝EM －EC ，即CM＝EM2?EC2＝∵四边形AEMF是菱形，
∴OE＝OF，OA＝OM，AM⊥EF， ∴S菱形AEMF＝4S△AOE＝2OE·AO， 在Rt△AOE和Rt△ACM中， ∵tan∠EAO＝tan∠CAM， ∴
2
2
2
2021624（）－（）＝， 993
OECM＝， AOAC4
∵CM＝，AC＝4，
3∴AO＝3OE， ∴S菱形AEMF＝6OE， 又∵S菱形AEMF＝AE·CM，
2042104102
∴6OE＝×，解得OE＝，∴EF＝2OE＝. 9399
2
2020年中考数学冲刺专题 平面几何压轴大题训练(含答案)
