一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.
与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径. 二．解题策略
类型一 构造法（补形法）
【例1】已知S,A,B,C是球O上的点SA?平面ABC， AB?BC, SA?AB?1， BC?表面积等于________________．
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.
【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术?商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
2,则球O的
A． B． C． D．
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.
【举一反三】
1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱为1和A．
，此三棱柱的高为
B．
，则该三棱柱的外接球的体积为
C．
的底面为直角三角形，且两直角边长分别
D． 中，
2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥
，则三棱锥
A．
B．
C．
外接球的表面积为（ ） D．
3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A．C．
B．D．
类型二 正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A．
81?27? B．16? C．9? D． 44【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】
1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为( ) A.
3
B.3 C．23 D．4 3
2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥且
.正三棱锥
中，，点在棱上，
的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为
__________．
类型三 直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,?BAC?120?， 则此球的表面积等于 .
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】
1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱
，
A．16 C．
，若球的表面积为
的顶点都在球的球面上，
，则这个直三棱柱的体积是（ ） B．15 D．
2、已知三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB?3，AC?4,AB?AC,AA1?12,则球O的半径为
A．（ ）
B．210
C．
317 213 2D．310
3、 正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .
三．强化训练 一、选择题
1、《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．中，
平面
2．【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥
，M是线段
的外接球的表面积是（ ） A．
B．
C．
上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥
D．
，
，若的
3．【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，
，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为最大值为3，则球O的表面积为 A．
B．
C．
D．
，三棱銋O一ABC的体积为
4．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是A．
B．
，
，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） C．
D．
，
，
5．【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，，，在同一个球面上，若球的表面积为
，则四面体
体积的最大值为
A． B． C． D．
6．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且
该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ） A．3
B．
C．
D．
7．【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ） A．
B．
C．
D．
8．【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知
平面
，四边形
为正方形，
，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于
A．
B． C． D．
二、填空题
9．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知在三棱锥
，则三棱锥
外接球的表面积为__________． 的所有顶点都在同一球面上，底面，则球O的表面积等于_____．
的三视图如图所示，若
是中，
10．【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为
11．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知四棱锥该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.
12．【陕西省榆林市2019届三模】如图，形锥
沿对角线
是边长为2的正方形，其对角线
.设三棱锥
与交于点，将正方
折叠，使点所对应点为，
__________．
的外接球的体积为，三棱
的体积为，则
专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)
