八、（30分）如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma1和 mb. 杆可绕距a球为l处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几
4乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个
a F 质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且
与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之
O 绕O轴逆时针转动，求当a转过角时小球b速度的大
小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．
B C
b A D B B 九、（30分）如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，A 竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属a O 圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心d O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕e 轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为．圆环处于磁感应强度大小为B?Kr、方向竖直向上的恒定磁场中，
式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度 匀速转动． 注：?x?Δx??x3?3x2Δx?3x?Δx???Δx?
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第22届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、 国际物理（或世界物理）． 相对论；光的量子性
评分标准：本题10分．第1小问4分．第2小问6分（填写任意两项爱因斯坦的成果只要正确都给6分）．
二、找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在
弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就
是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段．用细线栓住木块
G 挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位
x1 0 置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点
x2 M 相距远些），如图所示．设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件
m 和图中所设的直尺零刻度线的位置有
(1) (m?M)g?G
(1)、(2)式联立可得
?l?mg(x2?x1)?Mg??x2?
?2?(2)
m?G?l?2x2?
g?l?2x1?(3)
M?2G?x2?x1? g?l?2x1?(4)
评分标准：本题17分．
正确画出装置示意图给5分．（1）式、（2）式各4分，（3）式、（4）式各2分． 三、
S?M S O N r
S? M S ??2R ??2R R ??O O r N 图1
图2
自S作球的切线
，并画出S经管壁反射形成的虚像点S?，及由S?画出球面的切线S?N，如
图1所示，由图可看出，只要S?M和S?N之间有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．
由图可看出，如果r的大小恰能使S?N与S?M重合，如图2，则r就是题所要求的筒的内半
径的最大值．这时SM 与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得
r?由几何关系可知
由（1）、（2）式得
评分标准：本题18分．
给出必要的说明占8分，求出r 占10分．
四、由巴耳末—里德伯公式
RR?cos?1?sinsin???R2R?
（2）
r?23R 3（3）
11?) 22?kn可知赖曼系波长最长的光是氢原子由n = 2→ k = 1跃迁时发出的，其波长的倒数
1?R(
对应的光子能量为
1?12?3R 4(1)
E12?hc1?12?3Rhc 4(2)
式中h为普朗克常量．巴耳末系波长最短的光是氢原子由n = ∞→ k = 2跃迁时发出的，其波长的倒数
1?2??R 4(3)
对应的光子能量
E2??Rhc 4(4)
用A表示该金属的逸出功，则eU1和eU2分别为光电子的最大初动能．由爱因斯坦光电效应方程得 解得
3Rhc?eU1?A 4Rhc?eU2?A 4eA?(U1?3U2)
22e(U1?U2) h?Rc(5) (6)
(7) (8)
评分标准：本题20分．
(1)式3分，(2)式2分， (3)式3分，(4)式2分， (5)、 (6)式各3分, (7)、(8)式各2分．
五、设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有
由此解得
mv0?mv1?kmV1
(1) (2)
11122mv0?mv1?kmV12 222v1??(k?1)v0 k?12V1?v0
k?1(3) (4)
为使A能回到坡上，要求v1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有?v1?V1，即(k?1)?2，这导致k?3，于是，为使第二次碰撞能发生，要求
k > 3 (5) 对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有： 由此解得
m(?v1)?kmV1?mv2?kmV2
1111222mv1?kmV?mv?kmV22 122222
第22届全国中学生物理竞赛预赛试题
