及鲁肃过寻阳，与蒙论议，大惊曰：卿今者才略，非复吴下阿蒙！蒙曰：士别三日，即更刮目相待，大兄何见事之晚乎！肃遂拜蒙母，结友而别。
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2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题能力训练理
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初，权谓吕蒙曰：卿今当涂掌事，不可不学！蒙辞以军中多务。权曰：孤岂欲卿治经为博士邪但当涉猎，见往事耳。卿言多务，孰若孤？孤常读书，自以为大有所益。蒙乃始就学。1 / 6
及鲁肃过寻阳，与蒙论议，大惊曰：卿今者才略，非复吴下阿蒙！蒙曰：士别三日，即更刮目相待，大兄何见事之晚乎！肃遂拜蒙母，结友而别。
C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若＝λ1，＝λ2，求证：λ1＋λ2为定值．
解析：(1)设椭圆C的方程为
x2
＋＝1(a＞b＞0)， a2
??则??25?
??51??
?＋?a2b22＝1，c25＝，a5
∴a2＝5，b2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ， 又易知F点的坐标为(2,0)． 显然直线l存在斜率， 设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y＝k(x－2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
初，权谓吕蒙曰：卿今当涂掌事，不可不学！蒙辞以军中多务。权曰：孤岂欲卿治经为博士邪但当涉猎，见往事耳。卿言多务，孰若孤？孤常读书，自以为大有所益。蒙乃始就学。2 / 6
及鲁肃过寻阳，与蒙论议，大惊曰：卿今者才略，非复吴下阿蒙！蒙曰：士别三日，即更刮目相待，大兄何见事之晚乎！肃遂拜蒙母，结友而别。
又∵＝λ1，＝λ2，将各点坐标代入得λ1＝，λ2＝， ∴λ1＋λ2＝＋＝
＝＝－10，
即λ1＋λ2为定值．
2．(2018·贵阳一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标．
解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1， 由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝＝＝，
∴直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)， 即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，
∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(y1，y2异号)，
初，权谓吕蒙曰：卿今当涂掌事，不可不学！蒙辞以军中多务。权曰：孤岂欲卿治经为博士邪但当涉猎，见往事耳。卿言多务，孰若孤？孤常读书，自以为大有所益。蒙乃始就学。x2
2－x2
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2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题能
