3． 如图3.11所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n＝1，2，
3，?），每人只有一个沙袋，x>0一侧的沙袋质量为14千克，x<0一侧的沙袋质量为10千克。一质量为M＝48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。
……32101
图3.11
23……（1） 空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2） 车上最终会有几个沙袋？
(1)在小车朝正x方向滑行的过程中,第(n-1)个沙袋扔到车上后的车速为vn-1,第n个沙袋扔到车上后的车速为vn,由动量守恒定律有
小车反向运动的条件是vn-1>0,vn<0,即 M-nm>0 ② M-(n+1)m<0 ③ 代入数字,得
n应为整数,故n=3,即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行.
(2)车自反向滑行直到接近x<0一侧第1人所在位置时,车速保持不变,而车的质量为M+3m.若在朝负x方向滑行过程中,第(n-1)个沙袋扔到车上后车速为vn-1′,第n个沙袋扔到车上后车速为vn′,现取在图中向左的方向(负x方向)为速度vn′、vn-1′的正方向,则由动量守恒定律有
车不再向左滑行的条件是
vn-1′>0,vn′≤0
即 M+3m-nm′>0 ⑤ M+3m-(n+1)m′≤0 ⑥
n=8时,车停止滑行,即在x<0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住.故车上最终共有大小沙袋3+8=11个.
四、爆炸反冲模型
1． 如图3.12所示海岸炮将炮弹水平射出，炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m，当炮
身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？
图3.12
解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式Ek?p22m知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能
11M22E1?mv1?E，E2?mv2?E，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速
22M?m度之比，即：
s2s?v2v1?MM?m，所以s2?sMM?m。
思考：有一辆炮车总质量为M，静止在水平光滑地面上，当把质量为m的炮弹沿着与水平面成θ角发射出去，炮弹对地速度为v0，求炮车后退的速度。
提示：系统在水平面上不受外力，故水平方向动量守恒，炮弹对地的水平速度大小为v0cos?，设炮车后退方向为正方向，则(M?m)v?mv0cos??0，v?
2． 在光滑地面上，有一辆装有平射炮的炮车，平射炮固定在炮车上，已知炮车及炮身的质量为M，
炮弹的质量为m；发射炮弹时，炸药提供给炮身和炮弹的总机械能E0是不变的。若要使刚发射后炮弹的动能等于E0，即炸药提供的能量全部变为炮弹的动能，则在发射前炮车应怎样运动？ 答案：若在发射前给炮车一适当的初速度v0，就可实现题述的要求。
在这种情况下，用v表示发射后炮弹的速度，V表示发射后炮车的速度，由动量守恒可知：
(m?M)v0?mv?MV?1?
mv0cos?M?m
由能量关系可知：
12(m?M)v0?E0?12212mv2?12MV2?2?
按题述的要求应有由以上各式得： v0?mv2?E0?3?
2mE(m?M)?0M(m?M)M(M?m))?4?
?2mE0(M?m?m(M?m)
第四章 力学综合
一、解题模型：
1． 如图5.01所示，一路灯距地面的高度为h，身高为l的人以速度v匀速行走。 （1）试证明人的头顶的影子作匀速运动； （2）求人影的长度随时间的变化率。
图5.01
解：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图2所示。OM为人头顶影子到O点的距离。
图2
由几何关系，有
hOMhvh?l?lOM?OS
联立解得OM?t
因OM与时间t成正比，故人头顶的影子作匀速运动。
（2）由图2可知，在时刻t，人影的长度为SM，由几何关系，有SM=OM-OS，由以上各式得
SM?lvh?lt
lvh?l可见影长SM与时间t成正比，所以影长随时间的变化率k?。
2． 一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝。将激
光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图5.02（a）为该装置示意图，图5.02（b）为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示
时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中?t1?1.0?10?3s，?t2?0.8?10?3s。 （1）利用图（b）中的数据求1s时圆盘转动的角速度； （2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向； （3）求图（b）中第三个激光信号的宽度△t3。
图5.02
解析：（1）由图线读得，转盘的转动周期T?0.8s， 角速度??2?T?6.280.8rad/s?7.85rad/s
（2）激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动（理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动）。
（3）设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为ri，第i个脉冲的宽度为△ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v。
?ti?d2?riTdT2?，r3?r2?r2?r1?vT(1?t2?1?t1)，r3?r2?dT2?(1?t3?1?t2
)r2?r1?由以上式联立解得?t3??t1?t22?t1??t2?0.67?10?3s
3． 如图5.03是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形
成匀强电场，分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a、b两种颗粒从漏斗出口下落时，a种颗粒带上正电，b种颗粒带上负电。经分选电场后，a、b两种颗粒分别落到水平传送带A、B上。已知两板间距d=0.1m，板的度l?0.5m，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为1?10?5C/kg。设颗粒进入电场时的初速
度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不
高中物理解题模型详解
