（2）根据观测结果，星体的运动周期：
1NT观测?T计算?T计算
这种差异是由双星系统（类似一个球）内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用，与一个质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量M'且位于中点O处）的作用相同。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v1，则有：
2Mv1L2?GML22?GMM'(L/2)2,v1?G(M?4M')2L
因为周长一定时，周期和速度成反比，得：
1v11N1v??
有以上各式得M'?N?14M
设所求暗物质的密度为?，则有
43L2N?143?()??3M故??3(N?1)M2?L
第三章 功和能
一、水平方向的弹性碰撞
1． 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，
发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（ ）
EPm2EPmEPm2EPmA. B. C. 2 D. 2
解析：设碰前A球的速度为v0，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出
mv0?2mv，由能量守恒定律得
12mv0?EP?212(2m)v，联立解得v0?22EPm，所以正确选项
为C。
2． 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部
分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图3.01所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。
图3.01
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
解析：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得mv0?(m?m)v1当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得2mv1?3mv2，由以上两式求得A的速度v2?13v0。
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有
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12?2mv1?212?3mv2?EP撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长
12(2m)?v3
22度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有EP?以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得2mv3?3mv4
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP'，由能量守恒，有解以上各式得EP'?
3． 图3.02中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长
状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止，滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为?，运动过程中弹簧最大形变量为l2，重力加速度为g，求A从P出发的初速度v0。
136mv0。
212?2mv3?212?3mv4?EP'2
图3.02
解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为v1（碰前） 由功能关系，有
12mv0?212mv1??mgl1
2A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为v2 有mv1?2mv2
碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有
12(2m)v2?212(2m)v3??(2m)g(2l2)
122此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有由以上各式，解得v0?
mv3??mgl1
2?g(10l1?16l2)
4． 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v?6m/s的速度在光滑水平地面上运动，弹
簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3.03所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求在以后的运动中，
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？
（3）A的速度有可能向左吗？为什么？ 图3.03
解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有
(mA?mB)v?(mA?mB?mC)vA
解得：vA?3m/s
（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v'，则
mBv?(mB?mC)v'，v'?2m/s
设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒
EP?12(mB?mC)v'?212mAv?212(mA?mB?mC)vA?12J
2（3）由系统动量守恒得
mAv?mBv?mAvA?(mB?mC)vB
设A的速度方向向左，vA?0，则vB?4m/s 则作用后A、B、C动能之和
Ek?12mAvA?212(mB?mC)vB?48J
2实际上系统的机械能
E'?EP?12(mA?mB?mC)vA?48J
2根据能量守恒定律，Ek?E'是不可能的。故A不可能向左运动。
5． 如图3.04所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右
端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知mA?在A球的左边有一质量为
12m2，mB?2m，开始时A、B均静止。
m的小球C以初速度v0向右运动，与A球碰撞后粘连在一起，成
为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。
图3.04
（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？ （2）当弹簧恢复原长时B球速度是多大？
（3）若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球
与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。
答案：（1）设C与A相碰后速度为v1，三个球共同速度为v2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：
1212mv0?m?v1?1?mv0?3m?v212mv1?2v1??2?v2?112mv021216v0v0
Epmax?12?3mv2?2（2）设弹簧恢复原长时，D球速度为v3，B球速度为v4 mv1?mv3?2mv412mv21?3??2mv24?12mv23?12?4?
则有v3??13v1??v06，v4?23v1?v03
（3）设B球与挡板相碰前瞬间D、B两球速度v5、v6
12mv0?mv5?2mv6?5?
与挡板碰后弹性势能最大，D、B两球速度相等，设为v'
mv5?2mv6?3mv'?6?
高中物理解题模型详解
