第十九章 含参量积分
总练习题
1、在区间1≤x≤3内用线性函数a+bx近似代替f(x)=x2，试求a,b使得积分?1(a?bx?x2)2dx取最小值. 解：设f(a,b)=?1(a?bx?x2)2dx， 由fa(a,b)=2?1(a?bx?x2)dx=4a+8b-fb(a,b)=2?1x(a?bx?x2)dx=8a+
333352=0, 35211b-40=0, 得驻点a=?,b=4. 3333316522又faa=2?1dx=4, fbb=2?1xdx=, fab=fba=2?1xdx=8, 即faa·fbb-fab2=>0，
331111∴(?,4)是f唯一的极小值点，即a=?,b=4时，积分取最小值.
33
2、设u(x)=?0k(x,y)v(y)dy，其中k(x,y)=?的连续函数，证明：u”(x)=-v(x).
证：当0≤x≤1时，u(x)=?0k(x,y)v(y)dy=?0y(1?x)v(y)dy+?xx(1?y)v(y)dy. 由各项被积函数及其对x偏导函数都连续知， u’(x)=?0x1?x(1?y),x?y与v(y)为[0,1]上
?y(1?x),x?y1x1x?yv(y)dy+x(1-x)v(x)+?(1?y)v(y)dy-x(1-x)v(x)
x11= -?0yv(y)dy+?x(1?y)v(y)dy. u”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x).
3、求函数F(a)=?0??sin(1?a2)xdx 的不连续点， x并作函数F(a)的图像. 解：由?0??sinax?dx=sgna， x2得?0??sin(1?a2)x?2
dx=sgn(1-a)， x2可知其在a=±1处不连续，其图像如图：
4、证明：若?0f(x,t)dt在x∈(0,+∞)上一致收敛于F(x)，且
x?????limf(x,t)=φ(t)对任意t∈[a,b]?(0,+∞)一致地成立，即对任意ε>0,
存在M>0，使当x>M时，|f(x,t)-φ(t)|< ε对任何t∈[a,b]成立，则有
x???limF(x)=??(t)dt.
0??证：∵?0f(x,t)dt在x∈(0,+∞)上一致收敛，∴?ε>0, ?N >0， 对一切A’, A”>N和一切x∈(0,+∞), 都有?A?f(x,t)dt<ε. ∵f(x,t)对任意t∈[a,b]一致收敛于φ(t), ∴对
????||A??A???A??>0, ?X>0, , 从而
对一切x∈(X,+∞)和t∈[a,b], 都有|f(x,t)-φ(t)|<
????||A??A??????AA??(t)dt≤??(?(t)?f(x,t))dt+??f(x,t)dt<2ε. ∴?0?(t)dt收敛.
A???A???AA从而对上述的ε, 存在N1>0，对一切A>N1有?A?(t)dt<. 由?0f(x,t)dt一致收敛于F(x)知，对ε, ?N2>0，
对一切A>N2和一切x∈(0,+∞), 都有F(x)??0f(x,t)dt<. 由
x???A?????3?3limf(x,t)=φ(t),对
A?3A>0, ?X>0,对一切x∈(X,+∞)和t,有|f(x,t)-φ(t)|<
?3?3A,
从而有?0(f(x,t)??(t))dt<. 综上, ?ε>0, ?X >0, 对一切x∈(X,+∞),有
F(x)???(x)dt=F(x)??f(x,t)dt??(f(x,t)??(t))dt???(t)dt???(t)dt
00000??AAA??≤F(x)??0f(x,t)dt+?0(f(x,t)??(t))dt+?0?(t)dt??0?(t)dt<ε. ∴limF(x)=?0?(t)dt.
x?????AAA??
5、设f(x)为二阶可微函数，F(x)为可微函数，证明函数 u(x,t)=[f(x-at)+f(x+at)]+
121x?at2
满足弦振动方程：u= auxx F(z)dztt?x?at2a及初值条件u(x,0)=f(x), ut(x,0)=F(x). 证：ux=[f’(x-at)+f’(x+at)]+uxx=[f”(x-at)+f”(x+at)]+
121[F(x+at)-F(x-at)], 2a11[F’(x+at)-F’(x-at)]；
22a11ut=[-af’(x-at)+af’(x+at)]+[aF(x+at)+aF(x-at)], 22a11utt=[a2f”(x-at)+a2f”(x+at)]+[aF’(x+at)-aF(x-at)]=a2uxx.
2211xu(x,0)=[f(x)+f(x)]+?xF(z)dz=f(x)；
22a11ut(x,0)=[-af’(x)+af’(x)]+[aF(x)+aF(x)]=F(x).
22a
?uln(1?t)un?2lnx6、证明：(1)?0；(2)?0dx=?dt=??2, 0≤u≤1.
61?xtn?1n1n?1?1?(1?x)1lnx(1?x)n1?2dx=??2=?证：(1)由lnx=??，得?0. dx=???0nn61?xn?1n?1n?1n???u?unln(1?t)tn?1??dt=????dt=??2, 0≤u≤1. ??0tn?1n?n?1n?(2)?0
u
数学分析19含参量积分总练习题(含参考答案)
