数学选修 2-2 知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
y x
f x
f (x2 )
x2
f (x1 ) f ( x1 x1
x) f ( x1 ) x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均速度。
2、导函数的概念:
lim
函 数 y f (x) ，则称函数 y
在 x x0 处的瞬时变化率是
y
lim
x 0
f ( x0
x)
f ( x0 )
f (x) 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫
x 0
x
x
x0
做 y
f ( x)
在
处的导数，记作
f ' ( x0 ) 或 y ' |x x， 即
0
f ' (x0 ) = lim
x 0
y x
lim f (x0
x 0
x) f ( x0 ) .
x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 y c
y xn
导函数
y ' 0 y ' nxn 1
n N *
y ax a 0,a y ex y
1 y ' ax ln a
y ' ex
loga x a
0,a 1, x 0
y '
1 x ln a
1 x
y ln x
y '
y sin x y ' cos x y '
y cos x
sin x
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6、常见的导数和定积分运算公式 :若 f x ， g x 均可导（可积），则有：
'
和差的导数运算
f (x) f (x)
g( x)
'
f ' ( x) g ' ( x) f ' (x)g( x)
f (x)g ' (x)
g (x)
积的导数运算
特别地： Cf x ' Cf ' x
f ( x) g ( x)
'
商的导数运算
f ( x) g(x) f ( x) g ( x)
( g( x) 0) 2
g( x) 1 g x
'
''
特别地：
g '( x) g 2 x
复合函数的导数
yx
b
yu ux
微积分基本定理
f x dx a
（其中F' x
b a
f x ）
b a
[ f1(x)
f2( x)]dx
b
f1( x)dxf 2(x)dx
b
a
b
和差的积分运算
特别地：
b a
kf (x)dx k f (x)dx(k为常数 )
c a
a
b c
a
积分的区间可加性
f (x)dx
f (x) dx
f ( x)dx (其中a c b)
用导数求函数单调区间的步骤 :
①求函数 f(x)的导数 f '( x)
②令 f '( x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .
③令 f '( x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；
[注 ]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数 f(x)的导数 f '( x)
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(3)求方程 f '(x) =0 的根
(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并
列成表格，检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x)在这
个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤
:求 f ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤如
下：
⑴求 f ( x) 在 a, b 上的极值；
⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注] ：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤 :分割
近似代替 求和 取极限
（“以直代
曲 ”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质 1
b a
1dx b a
b
性质 5 若 f ( x) 0, x
b a b
a,b ，则
f ( x)dx 0 f m ( x)]dx
c2 c1
b a
a
①推广：
[ f1( x)
f2 ( x) L
c1 a
f1( x)dxf2 ( x)dx L
a
b ck
b b a
fm ( x)
②推广 :
f ( x)dx
f ( x) dx f (x)dx L f ( x)dx
a
11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x
轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识 （1）位移的导数为速度， 速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
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二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：
归纳推理是由部分到整体
从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．． ．．． ．．
，由个别到一般 的推理。
．．
14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
概括、推广 猜测一般性结论
15.归纳推理的特点 :
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象， 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理的猜想， 可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类） 对象之间在某些方面的相似或相同， 推演出它们在其他方面
也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊
．． ．．
到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推 推测新的结论
18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格
的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般
．． ．．
到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题： M是 P②小前提： S 是 M ③结论： S 是 P。 其中①是大前提， 它提供了一个一般性的原理； ②是小前提， 它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是 “由因导果”，从已知条件出发， 不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。
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要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B， B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（ 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （ 2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（ 3）从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。
．．．
26 常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
反义词 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 至少有 n+1 个
原结论词 对任意 x 不成立
p 或 q p 且 q
反义词 存在 x 使成立
p 且 q p 或 q
对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立
27.反证法的思维方法 :正难则反
．．．．
28.归缪矛盾
（ 1）与已知条件 矛盾 :
（ 2）与已有公理、定理、定义
．．．．
矛盾；
（ 3）自相矛盾．
．．．．．．．．．．
．．
29．数学归纳法（只能证明与正整数 有关的数学命题）的步骤
．．．
(1)证明：当 n 取第一个值 n
．．．． 0 0
*
(2)假设当 n=k (k∈N，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 .
．．．．．
由 (1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确
[注] ：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
n N
时命题成立；
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30. 复数的概念：形如 a+bi 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫
．．．．
虚部，数集 C a bi | a,b R 叫做复数集。 规定： a bi c di a=c 且 b=d，
．．．．．．．
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强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
实数 ( b 0 ) 0 )
31．数集的关系： 复数 Z
虚数 ( b
一般虚数 ( a 0)
纯虚数 ( a 0)
32. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33. 复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数 z a bi ，都可以由一个有序实数对 ( a,b) 唯一确定。
由于有序实数对 ( a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平
面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34. 求复数的模 ( 绝对值 ) 与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r 叫做复数 z
a bi 的模
( 也叫绝对值 ) 记作 z 或 a bi 。由模的定义可知： z
a bi
a2 b2
35. 复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则： z1 a bi与z2 c di ，则 z1 z2 a c (b 注：复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。
d)i 。
②复数的乘法法则： ( a bi)(c ③复数的除法法则：
di )
．． ac bd
ad bc i 。 bd d
2
a bi c di
(a bi )(c di) ac
2
bc c
2
ad d
(c di)( c di ) c
di 叫做实数化 2 i 其中 c
因子
36.共轭复数 : 两复数 abi与a
bi 互为共轭复数，当 b 0 时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1) z
(3) z z
z ;
2
(2) z z
2
2a, z z 2bi;
zz R
z z
2
a 2 b2 ;(4) z
z;(5) z
4
(6) i 4 n 1 i ,i 4n
1,i 4n 3 i , i 4 n
1;
2
(7) 1
i
2
i;(8)
1 i 1 i
i,
1 i 1 i
i,
1 i
i
2
2
(9) 设
1
3i 是 1 的立方虚根，则 1 2
0，
3n 1
, 3n 2
, 3n 3
1
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