自控习题及解答
第三章
3-2 某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间的变化规律可用一阶系统的响应来描述，实验测得当t=60s时，温度计度数达到实际水温的95%，试确定该温度计的传递函数。
【解】用一阶系统的模型，G(s)?11， 3T?60秒,故T?20，G(s)? Ts?120s?13-3在用温度计测量容器内的水温时，发现需要1min的时间才能指示其实际温度的98%，
如果容器内的水温以100C/min的速度线性增加，试求 温度计的稳态误差。 【解】用一阶系统的模型，G(s)?1,4T?1分钟,故T?0.25分钟 Ts?1容器内的水温以100C/min的速度线性增加时，可认为是斜率是100C/分钟的斜坡输入，此时的稳态误差为
ess?10?T?2.50C
3-4 已知系统单位阶跃响应为
h(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.10)
试求系统的超调量σ%、峰值时间tp和调节时间ts。 【解】，由已知表达式可知，该系统为欠阻尼的二阶系统，有
h(t)?10(1?1.25e?1.2tsin(1.6t?53.10)1
?10(1?e???ntsin(1??2?nt??)1??2??acos??acos53.10?0.6,tp??n?1.2/??2
1??2????1.96， ?(%)?e???/?d?n1??2??5%??2%?100%?9.4%
?3.5????2.92?nts???4.4?3.67????n
3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为
（1）G(s)?10.4s?1， （2）G(s)?
s(s?0.6)s(s?0.6)试求系统(1)、（2)在单位阶跃输入下的动态性能指标。并通过计算说明比例-微分控制的作用。
【解】 系统的闭环传递函数为
(1).?(s)?1,2s?0.6s?1(2).?(s)?0.4s?1 2s?s?1??0.3,?n?1??0.5?n?1
tp?3.29 tp?3.2
?11.67??5%?4.88??5% ts?? ts??14.67??2%7.74??2%???(%)?37% ?(%)?18%
比例-微分控制的确可以加快系统的响应速度，两个峰值时间基本相同，但超调量和调节时间则大大减小。响应见下图
3-6 图3-78 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K1、Kt，使系统的自然频率为6 rad/s，阻尼比1。
R K1Kts25s(s?0.8)C
图3-78 习题3-6 飞行控制结构图
【解】系统闭环传递函数为
?(s)?25K1
s2?(0.8?25K1Kt)s?25K12?n??0.8?25K1Kt?n?5K1，由已知条件?n?6,??1，得
K1?1.44，Kt?0.311
3-7 已知系统的特征方程为 3s?10s?5s?s?2?0 试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。 【解】
s4 3 s3 10 s2 4.7
4325
1 2 2 0
s1 -15.3 0 s0 2
由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 3-8 已知系统的特征方程如下，试求系统在s右半平的根的个数及虚根值： （1）s?3s?12s?24s?32s?48?0; 【解】 （1） s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4 12 0 12 24 16 48 32 48 0 5432 由于s3、s2 行的系数线性相关，故s1项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s2项的系数构造辅助方程
F(s)=-12s2+48=0
求F(s)关于复变量s一阶导数得
dF(s)/ds=-24=0
用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4 12 24 48 12 24 16 48 32 48 0 由于劳斯表的第一列元素符号无变化，故系统没有正实部根。但由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F(s)=-12s2+48=0，求得s1=j2, s2=-j2。故系统临界稳定，即不是渐进稳定。
（2） s?4s?4s?4s?7s?8s?10?0; s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 4 -5 0 -4 4 -5 0 -7 8 10 0 10 0 65432由于s5、s4 行的系数线性相关，故s3项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用s4项的系数构造辅助方程
F(s)=--5s4-5s2+10=0
求F(s)关于复变量s一阶导数得
dF(s)/ds=--20s2-10=0
用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 4 -5 -20 2.5 70 10 -4 4 -5 -10 10 -7 8 10 0 10 0 由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 同样由于出现了与坐标原点对称的根，可由辅助方程F(s)=- --5s4-5s2+10=0求得
s1,2??1,s3.4??j2s1=j2, s2=-j2。
3-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?试确定系统稳定时K的取值范围。 【解】系统的特征方程为
K
s(s?2)(0.5s?3)D(s)?1?G(s)?0,s3?8s2?12s?2K?0
s3 1 12 s2 8 2K s1 (8x12-2K)/8 0 s0 2K
欲使系统稳定，劳斯表第一列系数应保持同号，即满足
?8?12?2K?0? ，求得 0 (1).G(s)?5(s?2)(s?7)(2).G(s)?6s(s?3)(3)G(s)?(s?2) 22s(s?3s?5)试求当输入r(t)=1+2t,，t>0时的稳态误差。 【解】R(s)??12 2ss（1）该系统为零型系统，斜坡输入下的稳态误差无穷大，ess??， 或用静态误差系数法，Kp=5/14，Kv=0，ess?12??? KpKv（2）该系统为一型系统，斜坡输入下的稳态误差为有限值，用静态误差系数法， Kp??,Kv?2， ess?12??1 KpKv（3）该系统为二型系统，斜坡输入下的稳态误差本应为零。但该系统是三阶以上系统，系 统有可能不稳定。 系统的特征方程为 s?3s?5s?s?2?0 劳斯表 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4.66 -1.34 2 5 1 2 0 2 0 432由于劳斯表的第一列元素符号变化了一次，系统不稳定，稳定误差无穷大。ess?? 3-11 温度控制系统利用加热器来克服户外的低温，以减小电路温度的变化幅度。 温度控制系统的框图如图3-79所示，环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号N(s), 电路的实际温度为C(s)。求干扰N(s)对输出的稳态影响（即干扰N(s)作用下的稳态输出css）。 G1(s)?NK200， G2(s)?2，N(s)?0 s0.2s?1s?20s?200C R N G1(s)G2(s) 图 3- 79 习题3-11温度控制系统 【解】由图可写出扰动作用下的系统输出为 Cn(s)??N0 G2200(0.2s?1)N(s)??21?G1G2(0.2s?1)(s?20s?200)?200Ks系统为三阶的，需要判断稳定性。特征方程为 0.2s3?5s2?60s?200(K?1)?0，适当选择0 稳态输出为css?limsCn(s)??s?0N0 1?K3-12设控制系统结构如图3-80所示，是否可以选择一个合适的K1值，使系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差小于0.009？
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