等比数列教案——经典

等比数列教案一一经典

《等比数列》教学设计 (共2课时)

第一课时

1、创设情境，提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片) 情境1:本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1, 2，22,23,24,

，263

(1)

于是发明者要求的麦粒总数是+ 2 + 22 +2' +

情境2:某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款, 二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000 (1 r)2,10000 (1 r)3,

情境3:将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所 得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？

(2)

111 2'4‘8

(3)

问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得

2、自主探究，找出规律:

学生对数列(1)，( 2)，( 3)分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每

一项与前一项的比都等于同一常数。 也就是说这些数列从第二项起，每一项与前 一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母 q (q 0)表示，即 an: an 1 q(n N,n 2,q

0)。

1 如数列(1)，( 2)，( 3)都是等比数列，它们的公比依次是 2，1+r, 1

2 点

评：等比数列与等差数列仅一字之差， 对比知从第二项起，每一项与前一 项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称 为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结:

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理 由，然后回答下面问题：

1 / 6

等比数列教案一一经典

1, 3, 9, 27,…… 111

1 —— - ................ ，，，，2 4 8

1

，-2， 4，-8， ....

-1，-1，-1，-1，…… 1, 0, 1, 0,……

思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？

② 公比q 1是什么数列？

③ q 0数列递增吗？ q 0数列递减吗？

④ 等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式： _____________

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差 d可以取任意实数，所以学生对公比 q往往忘 却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时 不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比 q有防患意识，问题③是 让学生明白q 0时等比数列的单调性不定，而q 0时数列为摆动数列，要注意 与等差数列的区别。

备选题：已知x R则x,x2,x3,……xn ,……成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1:由定义知道a2 a1q,a3 a?q a1q2, a4 a3q a^3, 归纳得：等 比数列的通项公式为：an a1qn 1

（ n N）

（说明：推得结论的这一方法称为 归纳法，不是公式的证明，要想对 这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶 段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2:迭代法

根据等比数列的定义有

an an 1 q a“ 2 q a“ 3 q ................................ a? q 印 q

2

3

n 2

n 1

2 / 6

等比数列教案一一经典

方法3:由递推关系式或定义写出：—2 q,更q,免q, ............................... q，通过观

ai

a2

a3

an 1

察发现岂？乞？至？……玉q q q……q qn 1

ai a? a3 an 1 q\1，即：n 1n (n N )

a

aq

1

a1

(此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用)

公式an a1qn 1 (n N )的特征及结构分析：

(1) 公式中有四个基本量：a1,n,q,an，可“知三求一”，体现方程思想。 (2)

a1的下标与的qn1上标之和1 (n 1) n ,恰是的下标，即q的指数比 项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列an是等比数列，a3

2,a8 64，求a^的值。

4

备选题：已知数列an满足条件：an p(-)n，且a4 一。求a$的值

4 25

5

5

&课堂演练：教材138页1、2题

备选题1:已知数列an为等比数列，a1 a3

10,a4 a6 一，求a°的值

4

备选题2:公差不为0的等差数列an中，a2,a3,a6依次成等比数列，

则公比等于 __________

7、归纳总结：

(1) 等比数列的定义，即色1 qn 1 (q 0)

a1

(2) 等比数列的通项公式an a1qn 1 (n N )及推导过程。

选作：1、已知数列an为等比数列，且a1 a2 a3 7,a1a2a3 8，求an

2 、已知数列an满足a1 1,an1 2an 1

(1) 求证：an 1是等比数列；。 (2) 求an的通项an。

3 / 6