§ 7.3 基本不等式及其应用
考纲解读
考点
内容解读 1. 利用基本不等式求 最值
2. 基本不等式的实际 运用
3.基本不等式的变形 运用
要求
五年咼考统计
2013
2014
2015
2016
2017
常考题型预测热度
基本不等式及其 应用
C
10题 5分
填空题 解答题
★★★
分析解读 基本不等式是求函数最值的重要工具
,在实际应用题中也经常用到 五年高考
,是高考的热点，复习这部分内
容要注意基本不等式的灵活运用 .
考点基本不等式及其应用
1. （2017江苏,10,5分）某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用 为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小 答案 30
,则x的值是 __________ .
X y
2. （2017山东文,12,5分）若直线，+ =1（a>0,b>0）过点（1,2）,贝U 2a+b的最小值为 ______ . 答案 8
（X
■+ 3,x < 1,
-,x > L
3.（2017天津理改编,8,5分）已知函数f（x）= 恒成立，则a的取值范围是
47
■ — 2 16'
+ I
设a� R,若关于x的不等式f(x) > - 在R上
答案
xy
为 ________ . 答案 1
Z 1 2
4. （2013山东理改编,12,5分）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y 2-z=0,则当 取得最大值时，+ -的最大值
tanA tan/?
5. （2016山东理,16,12 分）在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知2（tan A+tan B）= （1）证明：a+b=2c;
: + ；
⑵求cos C的最小值.
/sinA * win气 解析 （1）证明：由题意知2 A ■'''=「
sinA
: +
「
,
化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即 2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为 A+B+Cn ,
所以 sin(A+B)=sin( n -C)=sin C. 从而 sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c.
⑵由（1）知c= ,
1 / 8
2 d L2 la +
/ +用一止日I
所以 cos C= 1 ⑴' 犁 2\\ i i
- （-V）
Km
=
> ?u 丈,
当且仅当a=b时,等号成立.
I
故cos C的最小值为.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟?基础题组
考点基本不等式及其应用
2x2 - 1 y\- 2
1. （2018江苏盐城时杨中学高三月考 ）已知x>0,y>0,2x+y=2,贝U
+「 ■的最大值为 _______ .
2&
答案-
2 |
2. （2017江苏南京溧水中学质检,10）已知x,y为正实数，且2x+y=1,则+的最小值是 _____________ . 答案 9
3. （2017江苏南京师范大学附中期中,11）等比数列｛an｝的首项为2,公比为3,前n项和为S,若
log 3丄 答案 2.5
-9,贝艸+皿的最小值是 ________ .
/ +护
4. （苏教必5,三,3,变式）若实数x,y满足x>y>0,且log 2x+log 2y=1,则 ''的最小值为 __________________ . 答案 4
y 4
5. （2017江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试 ,11）若正实数x,y满足x+y=1,贝「+的最小值是 ____________ 答案 8
[
13 + 4 丽
答案
7. （2016江苏苏州一模,13）已知ab= ,a,b � （0,1）,贝U 答案 4+
8. （2017江苏徐州沛县中学质检,19）已知函数f（x）=|x-2|. （1）解不等式 f（x）+f（2x+1） > 6;
:
斗
6. （2017江苏无锡期中,9）已知正实数a,b满足a+3b=7,贝U ?；+--的最小值为 ______________ .
■+ ?的最小值为 _______
2 / 8
⑵ 已知a+b=1(a,b>0),且？ x� R,f(x -m)-f(- x) < 1 + ■恒成立,求实数 m的取值范围 解析(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|
11
3 - 3jr,jc < -
! 2
3^ - 3, x > 2n
当x<时，由3- 3x> 6,解得xw -1; 当wxW2时,x+1 >6无解；
当x>2时，由3x-3>6,解得x>3. 所以不等式 f(x)+f(2x+1) >6 的解集为(--1] U [3,+ g).
⑵?/ a+b=1(a,b> 0),
4 1 津+片竺上
+ =(a+b)
=5+ ' +' >5+2
4 1
.? x� R,f(x -m)-f(- x) w 1 +'恒成立等价于？ x� R,|x -2-m|-|-x- 即(|x-2-m|-|-x -2|) maxW 9,
■/ |x -2-m|-|-x- 2| w |(x -2-m)-(x+2)|=|-4-m|,
2| <9 恒成立，
.-9< m+4C 9, . -13< 5.
9. (2017江苏苏州期中,18)如图，有一块平行四边形绿地 ABCD经测量BC=2百米,CD=1百米，/ BCD=120 ,拟过 线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度),将绿地分为面积之比为 1 ：3的 左、右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米,EF=y百米. (1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置； ⑵试求x的值，使路EF的长度最短.
解析 (1)S 平行四边形 ABCC=2X ■ X 1 x 2sin 120 ° =
I
当点F与点D重合时,S △CD =S 平行四边形ABC= ,
I
週
,
丽
又???SMDE=CE? CD- sin 120 ° = x, .x=1,即 E是 BC的中点.
L
⑵①当点F在CD上时，易知CF= ,1 w x< 2,
少1
jr + — + 1
再由余弦定理可得 y= > ,当且仅当x=1时取等号.
②当点F在DA上 (不包含点D)时，易知DF=1-x,0 w x<1,
(i)当 CE . (ii) 当 CE> DF 时，过 E 作 EG/ CD交 DA于 G,在厶 EGF 中,EG=1,GF=2x-1, / EGF=120 , 利用余弦定理得y= , 3 / 8 由(i)、(ii) 可得 y= ,0 w x<1. y= .■ ■/ 0< x<1, .y min=,当且仅当x=时取等号. I 由①②可知当x=时,路EF的长度最短. 10. （2016江苏扬州中学期中,18）有一块三角形边角地，如图中△ ABC其中AB=8百米,AC=6百米，/ A=60° .某市 为迎接250年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪 （图中△ AEF）供市民休闲，其中点E在边AB上，点F 在边AC上.规划部门要求△ AEF的面积占厶ABC的面积的一半，设AE=x百米，△ AEF的周长为1（百米）. （1） 如果要对草坪进行灌溉，需沿△ AEF的三边安装水管，求水管总长度的最小值； （2） 如果沿△ AEF的三边修建休闲长廊，求长廊总长 度的最大值,并确定此时E、F的位置. 解析(1) VS △AEF= SAABC, \\ \\ I .AE- AF- sin A= x AB- AC- sin A. ?/ AB=8,AC=6/. AF=. 0 < JT 笛& 24 =x2+ ?/△ AEF 中,EF2 24 24 '-2x -x cos 60 =x + -24, ? l=x+ + 24 ,x � [4,8]. 24 ?/ l=x+ ■ + >2 ??? 4W x< 8. +氏*乙-二：=6 ,当且仅当x=2 时取\= 故水管总长度的最小值为 6百米. ⑵由(1)知:l=x+ 24 ' 令 t=x+ ' ,x � [4,8], 24 x2 - 24 (x - 2侖)(x + 2凋) ?,t'=1 -= 列表得： 4 / 8 x t' t (4,2 ) - \\ 2 0 极小值4 ,11]. (2 ,8) + / 且 x=4 时,t=10;x=8 时,t=11,故 t � [4 I=t+ 在[4 ,11]上单调递增， 24 ???当 t=11 时,l maX=18，此时 x=8, ' =3. 故当点E在B处，点F是线段AC的中点时，长廊总长度的最大值为 18百米. B组2016—2018年模拟?提升题组 （满分：60分 时间:30分钟） 、填空题（每小题5 分,共45分） 1. mx+1,X1,X2是f（x）的两个零点，且X1>X2,贝『 为 ________ . 答案 2 （2018江苏姜堰中学高三期中）已知函数f（x）=x 的最小值 2 - 2. （2018江苏无锡高三期中）已知正项数列｛an｝的首项为1,前n项和为S,对任意正整数 m,n,当n>m时,S Sn=/1 ?Sn-m总成立，若正整数p,q满足p+q =6,则+的最小值为 _______________ 答案 _ 3. （2018江苏淮安、宿迁期中）在锐角三角形 ABC中,9tan Atan B+tan Btan C+tan Ctan A 为 ________ . 答案 25 的最小值 4. （2017江苏泰州中学模拟,12）已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点，△ ADCABCE均为等边三角形，则 △ CDE的外接圆的半径的最小值是 ________ . 答案 5. （2017江苏苏州暑期调研,14）已知a+b=2,b>0,当-■' + ：取最小值时，实数a的值是 ___________ . 答案 -2 6. （2017江苏海头高级中学质检,13）已知关于x的一元二次不等式 / + 半 7 ax2+2x+b>0的解集为｛x|x丰c｝,则 ° + c （其中a+cz 0）的取值范围为 _____________________ . 答案 （-8,-6] U [6,+ R） & ] 7. （苏教必5,三,3,变式）函数y= - 的最大值为 ________ . ,则+ 的最小值为 _______________ . 8. （2017江苏苏北四市联 考,11）若实数x,y满足xy+3x=3 答案 8 斗x - y 9. （2017江苏仪征中学第二学期期初检测 ,13）已知正数x,y满足 5 / 8 =4xy,那么y的最大值为 __________ .
江苏专版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及其应用讲义
