第一章 函数与极限 复习题
1、函数
f?x??x2x3?1?x?1与函数g?x??x?1相同.
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴
3x?12f?x??x?x?1与g?x????x?1函数关系相同,但定义域不同,所以fx与g?x?是不同的函数。
2、如果f?x??M(M为一个常数),则f?x?为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在.
错误 如:数列xn???1?是有界数列,但极限不存在
n4、n??liman?a,liman?a.
n??nnn??错误 如:数列an???1?,lim(?1)x???1,但lim(?1)n不存在。
n??5、如果limf?x??A,则f?x??A??(当x??时,?为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果?~?,则????o???.
??1,是 ????????lim?1???0,即???是?的高阶无穷小量。 ∴lim????27、当x?0时,1?cosx与x是同阶无穷小.
正确 ∵limxx??2sin2sin??1?cosx2?lim2?1??2??1 ?lim正确 ∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2???2?118、 limxsin?limx?limsin?0.
x?0xx?0x?0x1错误 ∵limsin不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
x?0x2?1?9、 lim?1???e.
x?0?x??1?错误 ∵lim?1???e
x???x?x10、点x?0是函数y?的无穷间断点.
xxx?xx?lim?lim?1 错误 lim??1,limx?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0xx∴点x?0是函数y?的第一类间断点.
x111、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值.
x
1
xx第一章 函数与极限 复习题
错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,f?x??∴函数f?x??1在x?0处不连续 x1在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x二、填空题:
1、设y?f?x?的定义域是?0,1?,则 (1)fex??的定义域是( (??,0) );
??? (2)f?1?sinx?的定义域是( ?xx?k?,x?k???(k?Z) );
22(3)f?lgx?的定义域是( (1,10) ). 答案:(1)∵0?e?1 (2)∵0?1?sinx?1 (3)∵0?lgx?1
2??x?x?2?2?x?0?x?0的定义域是( ??2,4? )2、函数f?x???0.
?x2?30?x?4?23、设f?x??sinx,??x??x?1,则f???x???( sinx2?1 ).
2??2x=( x ).
n??nxxsinsinxn?limn?x?x ∵limnsin?limn??n??xnn??1nnx??1?1?x??x?5、设f?x???cos,limf?x??( 0 ). ?1?x?1,则limf?x??( 2 )
x??1?0x?1?02?x?1??x?14、limnsin∵limf?x??lim(1?x)?2,limf?x??lim?x?1??0
x??1?0x??1?0x?1?0x?1?0?1?cosx1?x?06、设f?x???x2,如果f?x?在x?0处连续,则a?( ).
2?x?0?a1?cosx11?cosx1??fx∵lim,如果在处连续,则?lim??f?0??a x?022x?0x?022xx7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点,则limf?x??( f?x0? ).
∵初等函数f?x?在定义区间内连续,∴limf?x??f?x0?
x?x0x?x08、函数y? ∵lim1?x?1?22当x?( 1 )时为无穷大,当x?( ? )时为无穷小.
1x?1?x?1???,lim1x??9、若lim∵
x?????x?1?2?0
x2?x?1?ax?b?0,则a?( 1 ),b?( ??1 ). 2 2
第一章 函数与极限 复习题
x???lim
?x2?x?1?ax?b??lim?x???x2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?b????? 2?1?a2?x2??1?2ab?x??1?b2? x2?x?1??ax?b??lim?lim2x???x2?x?1?ax?bx?x?1?ax?bx???
??欲使上式成立,令
上式化简为
1?a2?0,∴a??1,
21?b??1?2ab????1?2ab?x??1?b2???1?2ab?xlim?lim?lim2x???x???11bx???1?a∴x?x?1?ax?b1??2?a?xxx1a?1,1?2ab?0,b??2
10、函数f?x??的间断点是( x?0,x??1 ). 11?xx2?x?211、f?x??2的连续区间是( ???,1?,?1,3?,?3,??? ).
x?4x?3ax?2sinx12、若lim. ?2,则a?( 2 )
x??x1 ∴a?2 ax?2sinxsinx??lim?lim?a?2??lim?a?0??a?0?2x??x???xx?x?? 13、limsinx1,limxsin?( 1 ), ?( 0 )
x??x??xx1xx?0lim?1?x??1?k,lim?1???( e ). ?( e?1 )
x??x??sin1x?1
kkx∵lim1sinx1?lim?sinx?0 limxsin?limx??x??x??xxx??1xxlim?1?x??lim?1?(?x)?x?0x?01x1?(?1)?x1??1???e?1 lim?1???lim?(1?)x??ek
x??x??x??x??x???kx14、
x??三、选择填空:
1、如果limxn?a,则数列xn是( b )
n??limsin(arctanx)?( 不存在 ),limsin(arccotx)?( 0 )
a.单调递增数列 b.有界数列 c.发散数列
3
第一章 函数与极限 复习题
2、函数f?x??loga?x?x2?1?是( a )
a.奇函数 b.偶函数 c.非奇非偶函数 ∵
f??x??loga??x?(?x)2?1??log1a??x?x2?1
??logax?x2?1??f?x?
3、当x?0时,ex?1是x的( c )
a.高阶无穷小 b.低阶无穷小 c.等价无穷小
4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x??M(M是正数),则函数f?x?在该邻域内(a.极限存在 b.连续 c.有界
5、函数f?x??11?x在( c )条件下趋于??. a.x?1 b.x?1?0 c.x?1?0
6、设函数f?x??sinxx,则limx?0f?x??( c )
a.1 b.-1 c.不存在 ∵sinxxlim?lim?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x??1
xlimsinxsinx?0?0x?xlim?0?0x?1 根据极限存在定理知:lim?0f?x?不存在。
x7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在,则函数f?x?在x0点( c ) a.有定义? b.无定义 c.不一定有定义
∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列1,1,
12,2,13,3,…,1n,n,…当n??时为( c ) a.无穷大? b.无穷小 c?.发散但不是无穷大
9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的( b )
a.充分条件 b.必要条件 c.充分必要条件 10、点x?0是函数arctan1x的( b ) a.连续点 b.第一类间断点 c.第二类间断点 ∵1xlim?0?0arctanx???2 1?xlim?0?0arctanx?2
根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin1x的( c ) a.连续点 b.第一类间断点 c.第二类间断点 四、计算下列极限:
nn1、lim???1?n??3n n解
limn???1?n??3n?limn??(13?1(?1)n13?n)?3
4
c )
第一章 函数与极限 复习题
2、limtan3x
x?0sin2xtan3x3x3lim?lim? (∵x?0,sin2x~2x,tan3x~3x) 解 x?0sin2xx?02x23、lim??x?x????
??limx???x???lim?x?x?x??
?x?x?x?x?
x?x?x?xx?x?x?xx?x?x?x???
?limx????2x
x?x?x?x1111??1?xx??1
??2lim4、limx???n???n2?n?1?n2?n
2?解
limn???n?n?1?n2?n?n??limn??2?n?1?n2?n2??n2?n?1?n2?n2?n?n?1?n?n
?lim
n??12?2n?1n?lim?1111 n2?n?1?n2?nn??1??2?1?nnnx3?x25、lim
x?0?0x?sinx
x3?x2x1?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx?0?0xsinx1?x?12x?01?x1?sinx2 1?xx2?6、lim
x?0limxsinx1?x?12?limx?0x2??1?x2?1?(1?x?1)(1?x?1)5
22?limx?0?1?x2?1x2?
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
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