第一章 函数与极限 复习题
1、函数
f?x??x2x3?1?x?1与函数g?x??x?1相同．
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴
3x?12f?x??x?x?1与g?x????x?1函数关系相同，但定义域不同，所以fx与g?x?是不同的函数。
2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．
错误 如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存在
n4、n??liman?a，liman?a．
n??nnn??错误 如：数列an???1?，lim(?1)x???1，但lim(?1)n不存在。
n??5、如果limf?x??A，则f?x??A??（当x??时，?为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果?～?，则????o???．
??1，是 ????????lim?1???0，即???是?的高阶无穷小量。 ∴lim????27、当x?0时，1?cosx与x是同阶无穷小．
正确 ∵limxx??2sin2sin??1?cosx2?lim2?1??2??1 ?lim正确 ∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2???2?118、 limxsin?limx?limsin?0．
x?0xx?0x?0x1错误 ∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
x?0x2?1?9、 lim?1???e．
x?0?x??1?错误 ∵lim?1???e
x???x?x10、点x?0是函数y?的无穷间断点．
xxx?xx?lim?lim?1 错误 lim??1，limx?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0xx∴点x?0是函数y?的第一类间断点．
x111、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值．
x
1
xx第一章 函数与极限 复习题
错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，f?x??∴函数f?x??1在x?0处不连续 x1在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x二、填空题：
1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则 （１）fex??的定义域是（ (??,0) ）；
??? （２）f?1?sinx?的定义域是（ ?xx?k?,x?k???(k?Z) ）；
22（３）f?lgx?的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵0?e?1 （2）∵0?1?sinx?1 （3）∵0?lgx?1
2??x?x?2?2?x?0?x?0的定义域是（ ??2,4? ）2、函数f?x???0．
?x2?30?x?4?23、设f?x??sinx，??x??x?1，则f???x???（ sinx2?1 ）．
2??2x＝（ x ）．
n??nxxsinsinxn?limn?x?x ∵limnsin?limn??n??xnn??1nnx??1?1?x??x?5、设f?x???cos，limf?x??（ 0 ）． ?1?x?1，则limf?x??（ 2 ）
x??1?0x?1?02?x?1??x?14、limnsin∵limf?x??lim(1?x)?2，limf?x??lim?x?1??0
x??1?0x??1?0x?1?0x?1?0?1?cosx1?x?06、设f?x???x2，如果f?x?在x?0处连续，则a?（ ）．
2?x?0?a1?cosx11?cosx1??fx∵lim，如果在处连续，则?lim??f?0??a x?022x?0x?022xx7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??（ f?x0? ）．
∵初等函数f?x?在定义区间内连续，∴limf?x??f?x0?
x?x0x?x08、函数y? ∵lim1?x?1?22当x?（ 1 ）时为无穷大，当x?（ ? ）时为无穷小．
1x?1?x?1???，lim1x??9、若lim∵
x?????x?1?2?0
x2?x?1?ax?b?0，则a?（ 1 ），b?（ ??1 ）． 2 2
第一章 函数与极限 复习题
x???lim
?x2?x?1?ax?b??lim?x???x2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?bx2?x?1?ax?b????? 2?1?a2?x2??1?2ab?x??1?b2? x2?x?1??ax?b??lim?lim2x???x2?x?1?ax?bx?x?1?ax?bx???
??欲使上式成立，令
上式化简为
1?a2?0，∴a??1，
21?b??1?2ab????1?2ab?x??1?b2???1?2ab?xlim?lim?lim2x???x???11bx???1?a∴x?x?1?ax?b1??2?a?xxx1a?1，1?2ab?0，b??2
10、函数f?x??的间断点是（ x?0,x??1 ）． 11?xx2?x?211、f?x??2的连续区间是（ ???,1?,?1,3?,?3,??? ）．
x?4x?3ax?2sinx12、若lim． ?2，则a?（ 2 ）
x??x1 ∴a?2 ax?2sinxsinx??lim?lim?a?2??lim?a?0??a?0?2x??x???xx?x?? 13、limsinx1，limxsin?（ 1 ）， ?（ 0 ）
x??x??xx1xx?0lim?1?x??1?k，lim?1???（ e ）． ?（ e?1 ）
x??x??sin1x?1
kkx∵lim1sinx1?lim?sinx?0 limxsin?limx??x??x??xxx??1xxlim?1?x??lim?1?(?x)?x?0x?01x1?(?1)?x1??1???e?1 lim?1???lim?(1?)x??ek
x??x??x??x??x???kx14、
x??三、选择填空：
1、如果limxn?a，则数列xn是（ b ）
n??limsin(arctanx)?（ 不存在 ），limsin(arccotx)?（ 0 ）
a.单调递增数列 b．有界数列 c．发散数列
3
第一章 函数与极限 复习题
2、函数f?x??loga?x?x2?1?是（ a ）
a．奇函数 b．偶函数 c．非奇非偶函数 ∵
f??x??loga??x?(?x)2?1??log1a??x?x2?1
??logax?x2?1??f?x?
3、当x?0时，ex?1是x的（ c ）
a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小
4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x??M（M是正数），则函数f?x?在该邻域内（a．极限存在 b．连续 c．有界
5、函数f?x??11?x在（ c ）条件下趋于??. a．x?1 b．x?1?0 c．x?1?0
6、设函数f?x??sinxx，则limx?0f?x??（ c ）
a．１ b．－１ c．不存在 ∵sinxxlim?lim?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x??1
xlimsinxsinx?0?0x?xlim?0?0x?1 根据极限存在定理知：lim?0f?x?不存在。
x7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x?在x0点（ c ） a．有定义? b．无定义 c．不一定有定义
∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列１，１，
12，２，13，３，…，1n，n，…当n??时为（ c ） a．无穷大? b．无穷小 c?．发散但不是无穷大
9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的（ b ）
a．充分条件 b．必要条件 c．充分必要条件 10、点x?0是函数arctan1x的（ b ） a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点 ∵1xlim?0?0arctanx???2 1?xlim?0?0arctanx?2
根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin1x的（ c ） a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点 四、计算下列极限：
nn1、lim???1?n??3n n解
limn???1?n??3n?limn??(13?1(?1)n13?n)?3
4
c ）
第一章 函数与极限 复习题
2、limtan3x
x?0sin2xtan3x3x3lim?lim? （∵x?0,sin2x～2x,tan3x～3x） 解 x?0sin2xx?02x23、lim??x?x????
??limx???x???lim?x?x?x??
?x?x?x?x?
x?x?x?xx?x?x?xx?x?x?x???
?limx????2x
x?x?x?x1111??1?xx??1
??2lim4、limx???n???n2?n?1?n2?n
2?解
limn???n?n?1?n2?n?n??limn??2?n?1?n2?n2??n2?n?1?n2?n2?n?n?1?n?n
?lim
n??12?2n?1n?lim?1111 n2?n?1?n2?nn??1??2?1?nnnx3?x25、lim
x?0?0x?sinx
x3?x2x1?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx?0?0xsinx1?x?12x?01?x1?sinx2 1?xx2?6、lim
x?0limxsinx1?x?12?limx?0x2??1?x2?1?(1?x?1)(1?x?1)5
22?limx?0?1?x2?1x2?
（完整版）高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
