高中数学 第一章 集合与函数概念 1_3_2 奇偶性课时作业 新人教版必修1

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【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与

函数概念 1.3.2 奇偶性课时作业 新人教版必修1

1.函数y＝

1－|x|＋是( )

1＋x2

B.偶函数 D.非奇非偶函数

9

A.奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

解析 由函数可知，定义域为[－1，1]，函数解析式满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数. 答案 B

2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A.f(x)＋|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|＋g(x)是偶函数

B.f(x)－|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|－g(x)是奇函数

解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数. 答案 A

3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )

（2x＋1）（x－a）1A. 2

2B. 3

3C. 4

D.1

x???1

解析 函数f(x)的定义域为?x?x≠－，且x≠a?.

2???

1

又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.

2答案 A

4.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.

解析 偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1，

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0]，[1，＋∞).

答案 [－1，0]，[1，＋∞)

5.已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－x2，则f(－2)＝________. 解析 因为当x>0时，f(x)＝x－x2，所以f(2)＝2－22＝－2，又f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝2. 答案 2

6.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.

解 设x<0，则－x>0. 所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.

所以f(－x)＝x2－x－1.因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x). 所以f(x)＝x2－x－1.

所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.

??x3－3x2＋1，x>0，

7.判断函数f(x)＝?的奇偶性.

32

?x＋3x－1，x<0?

解 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. (1)当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1

＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)； (2)当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1

＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)， 由(1)(2)知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数.

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8.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.

ax解 当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数. 当a≠0

时，f(x)＝x2＋

ax(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝

－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

能 力 提 升

9.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y＝x3 C.y＝－x2＋1

B.y＝|x|＋1 2

D.y＝－ x解析 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增.另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x22

＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数，故选B.

x答案 B

10.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥

f(－2)，则a的取值范围是( )

A.(－∞，－2]

B.[2，＋∞) D.[－2，2]

C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析 (－∞，－2]∪[2，＋∞)由已知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，由

f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.综上知－2≤a≤2.

答案 D

11.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

解析 因为g(－2)＝3，g(x)＝f(x)＋9，所以f(－2)＝g(－2)－9＝－6，又f(x)为奇函数，

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所以f(2)＝－f(－2)＝6. 答案 6

12.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|， ∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0. 答案 0

13.已知函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明.

解 (1)函数f(x)是偶函数，证明如下：函数f(x)＝x2－2|x|的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数.

(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数.证明如下： 当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2＋2x.

设－1－2，即x1＋x2＋2>0.

2∵f(x1)－f(x2)＝(x21－x2)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)<0，

∴f(x1)

探 究 创 新

2

14.设函数f(x)＝1－.

x(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；

(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明.

2

解 (1)由已知g(x)＝f(x)－a得：g(x)＝1－a－，因为g(x)是奇函数，所以

x?2?

g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－?1－a－?，解得a＝1.

x?（－x）?

2

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(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数，下面证明： 设0

?2?2（x1－x2）

则f(x1)－f(x2)＝1－－?1－?＝.

x1?x2?x1x2

2

因为00， 2（x1－x2）

从而<0，即f(x1)

x1x2

所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数.

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