竞赛专题讲座－类比、归纳、猜想
数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．
所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似
的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （ 1）降维类比
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．
【例 1】如图，过四面体 V-ABC的底面上任一点 O分别作 OA1∥VA， OB1∥VB， OC1∥VC， A1， B1， C1 分别是所作直线与侧面交点．
求证： + + 为定值．
分析 考虑平面上的类似命题： “过△ ABC（底）边 AB 上任一点 O分别作 OA1∥AC，OB 1∥BC，分别交 BC、AC于 A1、B1，求证
+
为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值
1
1．另外，过 A、O分别
作
BC垂线，
过
B、 O分别
作
AC垂
1
证明：如图，设平面 OA1 VA∩BC＝ M，平面 OB1 VB∩AC＝ N，平面 OC1 VC∩AB=L，则有△ MOA1∽△ MAV， △NOB1∽△ NBV， △LOC1 ∽△
LCV．得
+ + = + + 。
在底面△ ABC 中，由于 AM、BN、 CL 交于一
点 O，用面积法易证得：
+ + =1。
∴
+ + =1。
【例 2】以棱长为 1 的正四面体的各棱为直径作球，
S 是所作六个球的交集．证明 S 中没有一对点的距离大于 ．
【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为
1 的正三角形，以各边为直径作圆， S‘是所作三个圆的交集”，通过探索 S’的
类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知
S‘包含于以正三角形重心为圆心，以 为半径的圆内．因此 S’内任意两
点的距离不大于
．以此方法即可获得解本题的思路．
证明：如图，正四面体
ABCD中， M、 N 分别为 BC、 AD的中点， G
为△ BCD的中心， MN∩AG＝ O．显然 O是正四面体 ABCD的中心．易知 并且可以推得以 O为球心、 OG为半径
OG= ·AG= ，
的球内任意两点间的距离不大于
，其球 O必包含 S．现证明如下．
根据对称性，不妨考察空间区域四面体
OMCG．设 P 为四面体 OMCG内任一点，且 P 不在球 O内，现证 P 亦不在 S 内．
若球 O交 OC于 T 点。△ TON中， ON=
， OT= ，cos∠TON=cos(π - ∠TOM)=- 。由余弦定理：
2 2 2
TN=ON+OT+2ON·OT·= ，∴ TN= 。
又在 Rt△AGD中， N 是 AD的中点，∴ GN= 。由 GN= NT＝ ， OG＝OT， ON=ON，得 △GON≌△ TON。∴∠ TON＝∠ GON，且均
为钝角．
于是显然在△ GOC内，不属于球 O的任何点 P，均有∠ PON>∠TON，即有 PN>TN= ， P 点在 N 为球心， AD为直径的球外， P 点
不属于区域 S．
由此可见，球 O包含六个球的交集 S，即 S 中不存在两点，使其距离大于
．
（ 2）结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．
【例 3】任给 7 个实数 xk（ k=1， 2， ， 7）．证明其中有两个数
xi ， xj ，满足不等式 0≤ ≤ ·
【分析】若任给 7 个实数中有某两个相等，结论显然成立．若
7 个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：
xk =tg α k（k
与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：
＝ l ， 2， ， 7），证明必存在
α i ，α j ，满足不等式 0≤tg( α i - α j ) ≤ ·
证明： 令 xk=tg α k （ k ＝ l ， 2， ， 7），α k∈（ -
， ），则原命题转化为：证明存在两个实数 ），
α i ，α j ∈（ - ，
满足 0≤tg( α i - α j ) ≤
·
由抽屉原则知，α
k
中必有 4 个在 [0 ， ）中或在（ - ， 0）中，不妨设有 4 个在 [0 ， ）中．注意到 tg0 ＝ 0， tg = ，
而在 [0 ， ）内， tgx 是增函数， 故只需证明存在 α i ，α j ，使 0<α i - α j < 小区间： [0 ， ] 、
即可。为此将 [0 ， ）分成三个
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