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25.3正态分布
【知识网络】
1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；
2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；
3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】
例1：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 （ ） A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到??的面积为( )。
A．95% B．50% C．97.5% D．不能确定（与标准差的大小有关）
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）
A 32 B 16 C 8 D 20
（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 （5）如图，两个正态分布曲线图：
431为??1,?(x)，2为??2?2(x)，
1121224则?1 ?2，?1 ?2（填大于，小于） -4-2-1例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
Ｘ Ｐ Y １ ａ 1 ２ 0.1 2 ３ 0.6 3 P 0.3 b 0.3
例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，其分布列如下：
（1）求a,b的值；
（2）比较两名射手的水平.
例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。
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1答案：B。解析：E?X??np?2.4，V?X??np(1?p)?1.44。
2.答案：B。解析：由正态曲线的特点知。3.答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)， 90?80??80?804.P(80?X?90)?P??Z???P(0?Z?1)?0.3413,48?0.3413?16。 1010??答案：8.5。解析：设两数之积为X， X P 2 0.1 3 0.1 4 0.1 5 0.1 6 0.1 8 0.1 10 0.1 12 0.1 15 0.1 20 0.1 E(X)=8.5. 5. 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 2 3 13119甲答对试题数ξ的数学期望 Eξ=0??1??2??3??.
3010265（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P 1330 10 12 16 21313C6C4?C6C82C2?C860?20256?5614P(A)==，P(B)=???. 因为事件A、B相互独立， 33120312015C10C10方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 PA?B?PA?PB??1?∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P?1?PA?B?1?答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
????????2??14?1 ??1???3??15?45??144 ?454544． 45方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
2111421444 ??????3153153154544答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
45P?PA?B?PA?B?P?A?B??例 答案：（1）a=0.3,b=0.4;
（2）EX?1?0.3?2?0.1?3?0.6?2.3,EY?1?0.3?2?0.4?3?0.3?2 DX?0.855,DY?0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.． 答案：设取出的红球数为X，则X—H（6，6，12），P(X?k)?设赢得的钱数为Y，则Y的分布列为
X P 100 50 20 —100 6?kC6k?C66C12????，其中k=0,1,2,…,6
1 4626 7775 154100 231∴E(Y)?100?
1675100。 ?50??20??100???29.44，故我们不该“心动”
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【课内练习】
1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1
2．正态分布有两个参数?与?，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A．?越大 B．?越小 C．?越大 D．?越小
21n3．已在n个数据x1,x2,?,xn，那么?xi?x是指
ni?1??A．? B．? C．? D．?（ ）
224．设?~B(n,p)，E????12，V????4，则n的值是 。
325．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E
43（X）= 。
6．设随机变量?服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是 。 (1)P(|?|?a)?P(|?|?a)?P(|?|?a)(a?0) (2)P(|?|?a)?2P(??a)?1(a?0) (3)P(|?|?a)?1?2P(??a)(a?0) (4)P(|?|?a)?1?P(|?|?a)(a?0)
7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V（X）= 。
8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：
根据工资哪家单位并说
9．交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为?），求抽奖人获利的数学期望。
10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；
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甲单位 概率 乙单位 概率 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.2 1800 0.1 2200 0.1 待遇的差异情况，你愿意选择明理由。
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（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差.
1.答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2.答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3.答案：C。解析：由方差的统计定义知。
4. 答案：4。解析：E????np?12，V????np(1?p)?4 5. 答案：
1711121145231。解析：P(X?0)???,P(X?1)?????,P(X?2)???。 123412343412342125117?2??。 12212∴E(X)?0??1?6. 答案：(1),(2),(4)。解析：P(|?|?a)?0。 7. 答案：
357351。解析：P(X?k)?,k?1,2,L,6，按定义计算得E(X)?,V(X)?。 1221268答案： 由于E（甲）=E（乙），V（甲） 解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。 9..答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. 则P（A）=P1=0.6, P(B)=P2 10.答案：解：因为?为抽到的2球的钱数之和，则?可能取的值为2，6，10. 112C8228C8C216C21，P(??6)?， P(??2)?2??P(??10)??224545C1045C10C10E??2?2816116218?6??10??? 454545455设?为抽奖者获利的可能值，则????5，抽奖者获利的数学期望为 E??E(??5)?E??5? 1877?5?? 故，抽奖人获利的期望为-。 555 P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?P1P2?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8 分)(6 (2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48?的概率分布为:? P 0 0.08 1 0.44 2 0.48 E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4， 精品 . V(?)?(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48?0.1568?0.0704?0.1728?0.4， 或利用V(?)?E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.4。 【作业本】 A组 1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于 （ ） A、4 B、5 C、4.5 D、4.75 答案：C。解析：X的分布列为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 故E（X）=3?0.1+4?0.3+5?0.6=4.5。 2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A．f(x)?12??122??x?r?2e2? B．f(x)?2?e2??x22 ?x?1?2C．f(x)?e4 D．f(x)?12?e x22答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为??0,???1概率密度函数f(x)是 （ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B。解析：f(x)?1?2?e?x22。 4．已知正态总体落在区间?0.2,???的概率是0．5，那么相应的正态曲线在x? 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x??对称，由题意知??0.2。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。 答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6 6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 解：X的分布列为 X P 1 2 3 2，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。 32 32 91 9精品
正态分布及其经典习题和答案74959
