排列组合与二项式定理及概率统计（理科适用）
1．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A．85 B．86 C．91
D．90
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种
B．18种 C．36种
D．54种
3．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有( )
A．70种
B．80种 C．90种
D．100种
4．2012年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )
A．1 440种
B．1 360种 C．1 282种
D．1 128种
5．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为( )
A．20
B．30 C．50
D．80
6．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)
7．三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
8．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？
9．某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有多少种？
10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中： (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
11．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( ) A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
12．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7
D．0.8
13．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )
138
A. B. C. 15515
14
D. 15
14．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )
1A. 6
11B. C. 53
2
D. 5
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )
1A. 6
11B. C. 32
3
D. 4
16．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．
17．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
18．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认
为止．
(1)求检验次数为3的概率；(2)求检验次数为5的概率．
19．已知向量a＝(x、y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．
(1)求满足a·b＝－1的概率； (2)求满足a·b＞0的概率．
20．某次会议有6名代表参加，A、B两名代表来自甲单位，C、D两名代表来自乙单位，E、F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：
(1)代表A被选中的概率是多少？
(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？
21．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( ) A.
X P B.
X P C.
X P D.
X P
0 1 71 2 72 3 71 0.2 2 0.5 3 0.3 4 0 0 0.3 1 －0.1 2 0.8 0 0.3 1 0.4 2 0.5
22．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是
A．ξ＝4
B．ξ＝5 C．ξ＝6
D．ξ≤5
a
23．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，
n?n＋1?15
则P(＜X＜)的值为( )
22
2A. 3
34B. C. 45
5
D. 6
24．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
1
A. 220
2727
B. C. 55220
21
D. 25
25．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球?n－m?A2m
为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于的是( ) 3
An
A．P(ξ＝3) C．P(ξ≤3) 二、填空题
26．随机变量X的分布列如下：
X P
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______.
27．设随机变量X只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P(X＞8)＝________，P(6＜X≤14)＝________.
三、解答题
28．口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X7
＝2)＝，求：
30
(1)n的值； (2)X的分布列．
21
29．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是.
33甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．
－1 a 0 b 1 c
B．P(ξ≥2) D．P(ξ＝2)
(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列．
30．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i(i＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
(1)求甲恰好射击两次的概率；
(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
31．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于( )
X P
1120A. B. C. 1899
9
D. 20
0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x 1
n，?，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等32．设X为随机变量，X～B??3?于( )
13
A. 16
33．已知随机变量X～B(6，7A. 8
2
)，则P(－2≤X≤5.5)＝( ) 2
31 D. 32
413 B. C. 243243
80
D. 243
163 B. C. 864
34．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧．其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X＝|a－b|的取值，则X的数学期望E(X)＝
( )
8A. 932
B. C.
55
1
D. 3
35．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )
1A. 48
11B. C. 2412
1
D. 6
36．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ P
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
37．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示)． 38．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.
付款方式 频数
(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．
39．某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.
(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？
(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求E(ξ)的值．
7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b
40．今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：
A小区 比例P
B小区 比例P
(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； (2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E(ξ)．
41.二项式(2x?)的展开式中的常数项是( ) A．20 B．－20 C．160
D．－160
低碳族 4 5非低碳族 1 5低碳族 1 2非低碳族 1 21x642．若二项式(x?( )
A．80 C．20
2n－4
的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x的系数是)x2
B．40 D．10
43．(1－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( )
A．－1 C．1
n
B．0 D．2
44．若(x?)的展开式中的第5项为常数，则n＝( ) A．8 C．12
B．10 D．15
2x45．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy＜0，则x的取值范围是( )
1
A．(－∞，)
54
C．(－∞，－]
546．设二项式(x?的值是________．
11
47．(1＋x)3(1＋)3的展开式中的系数是________．
xx
4
B．[，＋∞)
5D．(1，＋∞)
a6)(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则ax
排列组合概率统计
