初一数学能力提高培优
复习巩固
数列的规律
【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）
A．22007 B．22007?1 C．22008 D．22006
⑵ 观察下列单项式，2x，?5x2，10x3，?17x4，……根据你发现的规律写出第5个
式子是 ，第8个式子是 ，第n个式子是 ．（n为正整数）
【解析】 ⑴ C． ⑵ 26x5，?65x8 ，(?1)n?1(n2?1)xn. 数表的规律
【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A，B，C三列，按这个规律，1999在第 列。
A B C 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10
13…
【解析】 A 图形的规律
【练习3】 如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：
……
第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去.
⑴ 请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m）填入下表：
第二次第一次第三次次数（n） 正方形总个数（m）
1 5 2 9 3 4 … … n 11 初一数学能力提高培优
⑵ 请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？
【解析】 ⑴ 当n=3时，m=13；n=4时，m=17…一般地m=4n+1；
⑵ 由m=4n+1得103=4n+1 n=25.5，因n不是整数，故按此要求操作不可能得到103
个．
算式的规律
【练习4】 观察图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
① 1??1? 22② 2??2?
331212③ 3??3? 44④ 4??4?
55……
3434……
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．
nn55【解析】 （1）5??5?（2）n?. ?n?66n?1n?1
程序运算
【练习5】 ⑴ 根据右图中的程序，当输入x?2时，输出结果y? .
⑵ 按下面的程序计算，若开始输入的x值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值分别是： .
输入x计算5x+1的值大于500否是输出结果负数+(-2)2正数×(-4)?-7输出有理数y输入有理数x
【解析】 ⑴ ?15；
4⑵ ?656?1??5?131>0，?131?1??5?26>0，?26?1??5?5>0，?5?1??5?>0，
5
12 初一数学能力提高培优
14?4??1?5??<0，∴只有，5，26，131符合题意． ??255?5?定义新运算
【练习6】 定义运算※为a※b?a?b?(a?b)
① 求5※7，7※5．
② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x）?3，求x．
【解析】 ① 5※7?23，7※5?23．
② 要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：再计算第二步12※5?43， 3※4?5，所以12※（3※4）?43．对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数， 12※3?21，其次21※4?59，所以（12※ 3）※4＝59．
③ 由于a※b?a?b?(a?b)，b※a?b?a?(b?a)?a?b?(a?b)，所以有
a※b?b※a，因此“※”有交换律．由②的例子可知，运算“※”没有结合律． ④ 5※x?4x?5，3※（5※x）?3※（4x?5）?3(4x?5)?(3?4x?5)?8x?13，
即8x?13?3，x?2．
世界著名的“三角形”----莱布尼茨三角形 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德.和牛顿先后独立发明了微积分.
我们可以观察一下这个三角形有什么规律呢？
其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推.
数学史
数学活动
玩一个上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，看看有没有什么发现？
解析：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这就是著名的斐波拉契数列）
13
第5讲 找规律、程序运算和定义新运算 尖子班 教师版
