初一数学能力提高培优
x为偶数输入xx为奇数x+3x2输出
⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x的所有值.
输入x计算4x+1的值将值赋给x，再次运算>800否是输出结果【解析】 ⑴?5；此程序为选择式，因x??9≤1，故y?x?4??9?4??5.
⑵ ?9；经过第一次程序运算得?2，因为?2??5，需要返回循环；经第二次运算得?9，
因为?9??5，此程序结束，故输出结果为?9. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）
⑷ 由题意：?853?1??4?213>0，?213?1??4?53>0，
?53?1??4?13>0，?13?1??4?3>0，?3?1??4?1>0 2∴只有213，53，13，3符合题意．
（也可用方程思想理解：∵ x为正整数， ∴ 4x?1≥5. 当4x?1?853时，x?213. 当4x?1?213时，x?53. 当4x?1?53时，x?13. 当4x?1?13时，x?3.
综上所述，x?213或x?53或x?13或x?3）.
【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A为785，则E=_____________；
（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；
（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？．．2．并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E=1089；
6 初一数学能力提高培优
⑵ E的值都相同．
理由如下：设A=100a+10b+c且a－c=2，则B=100c+10b+ a．
∴C=A－B=(100a+10b+c)－(100c+10b+ a)=99a－99c=99(a－c)=99×2=198． ∴D=891．∴E=C+D=198+891=1089． (3) E=1089．
证法1：设A=100a+10b+c且a－c>2，则B=100c+10b+ a．
∴C=A－B=(100a+10b+c)－(100c+10b+ a)=100(a－c)+(c－a)=100(a－c－1)+10×9+(10+c－a) ． ∴D=100(10+c－a) +10×9+ (a－c－1) ．
∴E=C+D=[100(a－c－1)+10×9+(10+c－a)]+[ 100(10+c－a) +10×9+ (a－c－1)]=1089．
思路导航
定义新运算
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后
按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
定义新运算
a?b?ab?1.试求：(3?4)?(2?1)的值.
【例7】 ⑴现定义两种新运算?、?，对于任意两个整数a、b，都有：a?b?a?b?1，
b，都有a×b?a2?b． ⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a，例如，4×7?42?7?9，那么5×3= ； 当m为有理数时，m×（?1×2）= ．
ab1b?ad?bc，若1??3，则b?d? ．⑶ 对于正整数a，b，c，d，规定 cdd4
1⑷ 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是．．．1?a1111?．已知a1??， ??1，?1的差倒数是
1???1?21?23① a2是a1的差倒数，则a2? ； ② a3是a2的差倒数，则a3? ；
7 初一数学能力提高培优
③ a4是a3的差倒数，则a4? ，…，依此类推，则a2009? ．
【解析】 ⑴ 6；
⑵ 22，m2?1；
⑶由题意得4?bd?2，故bd?2，又b，d为正整数，所以b?d?3.
313⑷ ① ；② 4；③ ?；.
434【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的
运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．
【选讲题】
【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．
请你按图中箭头所指方向（即A?B?C?D?C?B?A?B
2，3，4，…，当数到?C?…的方式）从A开始数连续的正整数1，12时，对应的字母是_______；当字母C第201次出现时，恰好数到的
数是 ；当字母C第2n?1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．
【解析】 B，603，6n?3 . （2）数a1,a2,a3,a4,L满足下列条件：a1?0，
a2??a1?1 ,a3??a2?2,a4??a3?3,L 则a2013的值为 .
【解析】 1006
(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：
⑴ 填表：
3 5 1 2 4 剪的次数 正方形个数 4 7 ⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n次，共剪出多少个小正方形？
【解析】 ⑴ 如表．
剪的次数 1 2 正方形个数 4 7 ⑵ 如果剪了100次，共剪出1?100?3?301个小正方形； ⑶ 如果剪n次，共剪出1?3n个小正方形.
8 3 10 4 13 5 16 初一数学能力提高培优
思维拓展训练(选讲) 训练1. 在数列1，
12123，，，，，…，中，第100个数是___ ． 223339?12??123?【解析】 .将上述各组数分成如下几组：?1?、?,?、?,,?、……，可发现每一组中数
14?22??333?的个数依次为1，2，3，…，设第100个数位于第n组，则1?2?L?n?1?100?1?2?L?n， n(n?1)n(n?1)14?13即，故n?14．又前13组数的个数为?100??91个，第100个
2229数位于第14组的第9个，第14组的数分母均为14，故第100个数为．
14
训练2. 观察下表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 次．
1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 … … … … 【解析】 提示：2008有8个约数，所以出现8次.
… … … … …
训练3. 定义一种对于三位数abc（a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位
上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）．例如abc?213时，则
FF213???198(321?123?198)???(981?189?792). ⑴ 579经过三次“F运算”得 ；
⑵ 假设abc中a>b>c，则abc经过一次“F运算”得 （用代数式表示）.
【解析】 ⑴ 495；⑵ 99?a?c?.
训练4. 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“*”法则：
1a*b*c??a?b?c?a?b?c?．
21如：??1?*2*3??|?1?2?3|???1??2?3??5． ??2⑴ 计算：3*??2?*??3?；
10? ． 365432171234568⑶ 在?，?，?，?，?，?，0，，，，，，， ，这
77777799999999十五个数中，
①任取三个数作为a、b、c的值，进行“a*b*c”运算，求所有运算结果的最大⑵ 计算：1*??2?*
9 初一数学能力提高培优
值；
②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数， 进行“a*b*c”运算，得到五个结果．由于分组不同，所以五个运算结果不尽相同．那么五个结果和的最大值为 ．
4【解析】 ⑴ 3 ; ⑵
35⑶①
31a*b*c??a?b?c?a?b?c?，由定义可知，
218当a≥b?c时，a*b*c??a?b?c?a?b?c??a，max?a*b*c??
291875当a?b?c时，a*b*c??a?b?c?a?b?c??b?c，max?a*b*c????
2993②4.
56??178??256??334??412??提示：分5组构造??,,?，??,,?，??,,?，??,,?，?0,?,??
77??799??799??799??799??87654321则五个结果和的最大值为????????0?4.
99999999
10
第5讲 找规律、程序运算和定义新运算 尖子班 教师版
