初一数学能力提高培优
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找规律、程序运算 和定义新运算
题型切片
题型切片（六个） 数列的规律 题数表的规律 型图形的规律 目算式的规律 标 程序运算 定义新运算
对应题目 例1；练习1 例2；练习2 例3；练习3 例4；练习4 例5、例6：练习5 例7；练习6 思路导航
找规律
解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.
⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.
⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
常见的数列规律：
⑴ 1，3，5，7，9，… ，2n?1（n为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，n2?1（n为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，n2?1 （n为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， n(n?1)（n为正整数）． ⑺?x，?x，?x，?x，?x，?x，…，(?1)nx（n为正整数）． ⑻?x，?x，?x，?x，?x，?x，…，(?1)n?1x（n为正整数）．
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初一数学能力提高培优
⑼特殊数列：
①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相
邻的前两个数的和.
n(n?1) ②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
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数列的规律
【例1】 ⑴ 观察下列一组数：
1357，，，，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 2468的第k个数是 ．（k为正整数）
⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536，，，，…中得到巴尔末公式，从5122132而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．
3579⑶找规律，并按规律填上第五个数:?，，?，， ，第n个数
24816为： . （n为正整数）
1234⑷有一列数?，，…，那么第7个数是 ．第n个数为 . ?，，
251017（n为正整数）
b2b5b8b11（5）一组按规律排列的式子：?，2，?3，4，…（ab?0），其中第7个式子
aaaa是 ，第n个式子是 .（n为正整数）
b202k?1100117nn2n?1n【解析】 ⑴ ； （2） ， ⑶?，(?1)；⑷ ?，(?1)2 ；（5）?7，
a2k96322n50n?13n?1b(?1)nn．
a
数表的规律
【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，若用有序数对?m,n?表示第m行，从左到右第n个数，如?4,3?表示分数
1.那么?9,2?表示的分数是 . 12
2 初一数学能力提高培优
1121314151121611212131415L
111203020LLLLL
（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．
第一列
第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ……
1 4 9 16 25
第二列 2 3 8 15 24
第三列 5 6 7 14 23
第四列 10 11 12 13 22
第五列 17 18 19 20 21
… … … … …
⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.
①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .
当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 . ②如果设“X”型框中间的数为a，请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由. 3 -5 7 -9 11 -1 -13 -25 -37 -49 -61 …
3 15 27 39 51 63 … -17 -29 -41 -53 -65 … 19 31 43 55 67 … -21 -33 -45 -57 -69 … 23 35 47 59 71 … 初一数学能力提高培优
【解析】 ⑴
1 72⑵ 420；观察可得规律：
第一行第二列的数：2?1?2； 第二行第三列的数：6?2?3； 第三行第四列的数：12?3?4； ……
第n行第n?1列的数：n(n?1)
故可得第20行第21列的数为：20?21?420.
（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列
图形的规律
【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基
础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个 图案由 个基础图形组成．
⑵观察下列图形：
它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有
个★，第n个图形
有 个★.
⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三
角形三边的中点，得到图3．
图1图2图3
① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；
② 按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？
⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
4 初一数学能力提高培优
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
【解析】 ⑴ 10，3n?1； ⑵；28,3n+1；
⑶ ①5，9．② 4n?3． ⑷n(n?2)或n2?2n或(n?1)2?1；
算式的规律
【例4】 观察下列等式：①a?202612?9…；则根据?3；②a??5；③a??7；④a?aaaa此规律第6个等式为 ，第n个等式为 ．
n2?n42?2n?1. 【解析】 a??13 ； a?aa思路导航
一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式
之间的关系．
程序运算
【例5】 ⑴ 如下图，输入x??32，则输出值y是 ．
输入 xy=x+4(x≤1)y=-x+4(x >1)输出 y
⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入x??1，则最后输出的结果是 .
输入x的值计算1+x-2x2<-5YESNO输出结果
⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．
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第5讲 找规律、程序运算和定义新运算 尖子班 教师版
