2024年数学中考压轴题专项训练：反比例函数的综合
1．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数
y＝﹣的图象分别交于C、D两点．
（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；
（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△
BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．
解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣， ∵点P在线段AB上
∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0， ∴PN＝a，PM＝3﹣a， ∵矩形OMPN的面积为2， ∴a×（3﹣a）＝2， ∴a＝1或2，
∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点， ∴点A（3，0），点B（0，﹣3） ∴OA＝3＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3
，
1
∵x﹣3＝﹣ ∴x＝1或2，
∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1） ∴BC＝
设点E（x，0），
∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°， ∴∴
，或，或
， ＝
，
＝
，
∴x＝1，或x＝﹣6， ∴点E（1，0）或（﹣6，0） （3）∵﹣∴x＝1，x＝
＝kx﹣（2k+1）， ，
，
∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，
∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标， ∴1＝∴k＝
2．如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？ （3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ＝S△CAO时，求点P的坐标．
，或5＝
2
解：（1）把A（1，4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4， ∴反比例函数为y＝；
把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得解得：
，
，
∴一次函数为y＝﹣x+5．
（2）根据图象得：当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值； （3）设P（m，），
由一次函数y＝﹣x+5可知C（5，0）， ∴S△CAO＝
∵S△CPQ＝S△CAO， ∴S△CPQ＝5， ∴|5﹣m|?＝5， 解得m＝∴P（
3．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y＝x2相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+8＝0． （1）求b的值．
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数y＝
的图象上．
，或m＝﹣）．
（舍去）， ＝10，
3
（1）解：∵直线y＝kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C， ∴D（0，b），C（﹣，0） ∴由题意得OD＝b，OC＝﹣， ∴S＝∴k?（
）+8＝0，
∴b＝4（b＞0）； （2）证明：∵∴
∴x1?x2＝﹣16 ∴
∴点（y1，y2）在反比例函数y＝
，
的图象上．
，
，
4．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接
OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
4
解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0， 解得＝，
∵n＞m＞0， ∴＝
．
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2024年中考数学压轴题专项训练 反比例函数的综合
