20．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝
，E为CD的中点，连接AE、BD交于 ．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CD＝AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴
＝
， ，
∴＝∴
＝，
∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴
＝
＝，
∵CD＝2， ∴PQ＝， 故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题：（6个小题，共80分）
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21．（14分）（1）计算：（）2﹣|
﹣﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；
（2）先化简，再求值：（为合适的数代入求值．
﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认
【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解；
（2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一个合适的数即可． 【解答】解：（1）（）2﹣|
﹣
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0
＝4+＝4+＝2+（2）（
﹣3+2×1﹣1 ﹣3+2﹣1 ；
﹣a+1）÷
＝＝
＝﹣a﹣1，
×
要使原式有意义，只能a＝3， 则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的减法、除法，关键是利用分式的有关运算法则对要求的式子进行化简．同时考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂的计算．
22．（12分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 A
频数（人数）
a
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频率 20%
B C D
16 b 4
40% m 10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的a 8 ，b＝ 12 ，m＝ 30% ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%； 故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生； 补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
A B a b
A （B，A）
B
a
b
（A，B） （A，a） （A，b）
（B，a） （B，b）
（a，b）
（a，A） （a，B）
（b，A） （b，B） （b，a）
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
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∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是能够正确的列表，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
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∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ， ∴直线PQ是⊙O的切线． （2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ， ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°． 又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO ＝S扇形﹣OA?OE?sin60° ＝＝
×22﹣×2×2×﹣
．
﹣
．
∴图中阴影部分的面积为
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（14分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 日销售量y（件）
11 18
19 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
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2020年黔东南州中考数学试题、试卷（解析版）
