所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
课下层级训练(四十六) 直线与椭圆的综合问题
[A级 基础强化训练]
1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
x22
A．＋y＝1
2x2y2
C．＋＝1
43
x2y2
B．＋＝1
33x2y2
D．＋＝1
54
x2y2
C [设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭
abb23222
圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b＝a－c，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
a2x2y2
椭圆的方程为＋＝1.]
43
x2y2
2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标
54原点，则△OAB的面积为( )
4
A．
35
C．
4
5
B．
310D．
3
B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立xy??5＋4＝1，54??解得交点坐标为(0，－2)，??3，3?，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵??y＝2x－2，4坐标yB＝，
3
1145
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×|－2－|＝.]
2233
x2y2
3．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标
ab是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
1A． 2C．
3 2
B．D．
2 25 5
2
2
C [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
b2b21
＝－2xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得2＝，e＝
aka4b?23
1－?＝.] ?a?2
4．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( )
A．C．
5 32 3
2B．
31D．
3
|PF2|
A [由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，
|PF1|∴|PF1|＝
2a?2?4a?22a4ac52，所以离心率e＝＝，|PF2|＝. 根据勾股定理得?＋＝(2c).] ?3??3?33a3
x2y2
5．(2024·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为
43→→
椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )
A．2 C．6
x2y200
C [设点P(x0，y0)，则＋＝1，
43即y20＝3－
3x20
.又因为点F(－1,0)， 4
B．3 D．8
121→→2
所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y20＝x0＋x0＋3＝(x0＋2)＋2． 44→→又x0∈[－2,2]，所以(OP·FP)max＝6.]
x2y2
6．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分
94别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________．
12 [设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.]
x2y2→→
7．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA·PB
98的取值范围是__________．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
→→→→→→→→→
[3,15] [圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，PA·PB＝(PC＋CA)·(PC＋CB)＝(PC＋CA)·(PC－→→→→→
CA)＝PC2－CA2＝|PC|2－1，显然|PC|∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，
→→→2
所以PA·PB＝|PC|－1∈[3,15]．]
x2y2
8．椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x
ab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．
3－1 [直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，
所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2．
2c2c
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝3－
2ac＋3c1.]
x22
9．如图，已知椭圆＋y＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂
2直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
x22
解 设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋
22k2－2＝0．
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根， 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 4k2
则x1＋x2＝－2，
2k＋1
12k2k
x0＝(x1＋x2)＝－2，y0＝k(x0＋1)＝2，
22k＋12k＋1
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1
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
k2k2k2
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2＋2 2k＋12k＋1k211
＝－2＝－＋2．
24k＋22k＋1
11
－，0?． 因为k≠0，所以－ 10．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2，0)． ab2(1)求椭圆C的方程； (2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2 ＝1上，求m的值． c2 ＝，??a2 解 (1)由题意，得?c＝2， ??a＝b＋c， 2 2 2 ??a＝22， 解得? b＝2.?? x2y2 ∴椭圆C的方程为＋＝1． 84 (2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)， xy??8＋4＝1，由?消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0， ??y＝x＋m，Δ＝96－8m2>0，∴－23 233∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上， 2mm35－?2＋??2＝1，∴m＝±． ∴??3??3?5 [B级 能力提升训练] 11．(2024·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为43，离心率为 3. 2 2 2 (1)求椭圆C的方程； 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 →→ (2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM＝2MB，求直线l的方程． x2y2 解 (1)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)， abc3 因为c＝23.e＝＝，所以a＝4，b＝2， a2x2y2 所求椭圆方程为＋＝1． 164 (2)由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1， ??y＝kx＋1，则由?x2y2得(1＋4k2)x2＋8kx－12＝0，且Δ＞0． ??16＋4＝1 →→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由若AM＝2MB， 得x1＝－2x2， 8k12 又x1＋x2＝－，x， 1x2＝－221＋4k1＋4k所以－x2＝－ 8k122＝－，－2x， 2 22 1＋4k1＋4k 315 消去x2解得k2＝，k＝±， 2010所以直线l的方程为y＝±15 x＋1． 10 x2y22 12．(2024·北京通州区月考)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)过点(0，－1)，离心率e＝． ab2(1)求椭圆的方程； (2)已知点P(m,0)，过点(1,0)作斜率为k(k≠0)直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值． 解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，过点(0，－1)，离心率e＝所以由a2＝b2＋c2，得a2＝2， x22 所以椭圆C的标准方程是＋y＝1， 2 (2)因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是y＝k(x－1)． 2c2，所以b＝1，＝， 2a2 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5
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