=
2cos?lnx?
7分
?x?e2tcos2tdy3．设函数? ，求。 2t2dx?y?esint解：2分
dx?2e2tcos2t?2e2tsintcost dtdy?2e2tsin2t?2e2tsintcostdt4分
dydydt2e2t(cos2t?sintcost)(cos2t?sintcost)???dxdx2e2t(sin2t?sintcost)(sin2t?sintcost)dt7分
4．计算不定积分
1?sin2xcos2xdx.
：
解
3分
=
7分
5．计算定积分
1sin2x?cos2x?sin2xcos2xdx??sin2xcos2xdx
?[? 1 011?]dx??cotx?tanx?C 22sinxcosxdx。
ex?e?x：
解
3分
=
5分
=
7分
? 1 0 1dxex?dx
ex?e?x? 01?e2xd(ex)? 01?(ex)2dx
1arctanex 1 0?arctane??4。
dyd2ydy?2y?2ex满足yx?0?1,6．求微分方程2?3dxdxdx?0,的特解。
x?0d2ydy?2y?2ex对应的特征方程为 解：微分方程2?3dxdxr2?3r?2?0?(r?1)(r?2)?0
特
1分 而
征
根
为
r1?1,r2?2
??12分
，所以
r1???1为单根，
对应3分
的齐次方程的通解为
Y?C1ex?C2e2x
非齐次方程的通解为y?Cxe4分 有
5分 有
通
解
*?x代入原方程得C??2
y?C1ex?C2e2x?2xex
dydxx?0?C1?C2?1?0,yx?0?1???C1?0,C2?1
C?2C?2?0?12解
有
7分
7．求过直线?平面方程。 解：通过直线?y?e2x?2xex
?3x?2y?z?1?0 ，且垂直于已知平面x?2y?3z?5?0的
?2x?3y?2z?2?0?3x?2y?z?1?0的平面束方程为
?2x?3y?2z?2?0 3x?2y?z?1??(2x?3y?2z?2)?0即
(3?2?)x?(2?3?)y?(?1?2?)z?(?1?2?)?0
3分
要求与平面x?2y?3z?5?0垂直，则必须
1?(3?2?)?2?(2?3?)?3?(?1?2?)?0
4?2??0????26分 所
求7分
平
面
方
程
为
x?8y?5z?5?0
8．将函数f(x)?ln(x?3x?2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。 解
2分
=
3分
：
2f(x)?ln(x?1)(x?2)?ln(x?1)?ln(x?2)
xln2?ln(1?)?ln(1?x)
2?n?11xn?1?1n =ln2??(?1)()??(?1)nxn?12n?1n?0n?0?
=6分
收
7分
11?2n?1n?1ln2??(?1)(n?1)x
n?12n?0n敛半径
R?1
x29．计算I???2dxdy，其中D由直线x?2,y?x和双曲线xy?1所围成的
yD封闭图形。 解
3分
=
5分
=
7分
10．当a为何值时，抛物线y?x与三直线x?a,x?a?1,y?0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解：设所围面积为S(a)
a?12：
2 2 xxx2I???2dxdy??dx?12dy
1 yyxD? 2 1 21xx2(?)1dx??(x3?x)dx
1yxx4x229(?)1? 424 S(a)??a(a?1)3?a3xdx?
322分
S(a)?(a?1)?a?2a?1
'22令
3分
S(a)?2?04分
''1S'(a)?0?a??
2，
所
以
11S(?)?212为最小的面积
Vx??? 12 - 12ydx?2??2 12 0251?xdx??x2?05804
7 分
四；综合题：（本题有3小题，共20分）
2． （本题8分）设函数f(t)在[0,1]上连续，且f(x)?1，证明方程
2x??f(t)dt?1在(0,1)内有且仅有一实根。
0 x证明：令F(x)?2x?2分
? x 0f(t)dt?1， 则在[0,1]上F(x)连续，
1 1F(0)??1?0,F(1)?2??f(t)dt?1?1??f(t)dt?0 0 0，
4分
由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C，使得
F(C)?0
5分 又因为F(x)?2?f(x)?1?0，所以F(x)单调上升，F(x)?0在?0,1?内
'最多有一个根，所以2x?7分
? x 0f(t)dt?1在?0,1?内有且仅有一个实根。
mmnnam?n。2．（本题7分）证明：若m?0,n?0,a?0，则x(a?x)? m?n(m?n)mn证明：
2
令
F(x)?xm(a?x)n
分
F'(x)?mxm?1(a?x)n?nxm(a?x)n?1?xm?1(a?x)n?1[m(a?x)?nx]?xm?1(a?x)n?1[ma?(m?n令F(x)?0?x?'ma，（当m,n?1时，x?0,x?a，此时
m?nF(0)?F(a)?0)
F' '(mamam?2nanmam?1nan?1)?m(m?1)()()?2mn()()? m?nm?nm?nm?nm?nmamnan?2mn?1nn?1am?n?2n(n?1)()()???0 m?n?3m?nm?n(m?n) +
5分 所以F(ma)是F(x)在???,???上的极大值，有唯一性定理知：m?n是
最
大
值
，
故
maF()m?n7分
mammnnm?nF(x)?F()?a m?nm?n(m?n)3．（本题5分）设f(x)是连续函数，求积分I?值。 解： 令x?? ?2 0f(sinx)dx的
f(sinx)?f(cosx)?2?t,dx??dt
I??2 0 ?? f(sinx)f(cosx)dx??2dx
0f(sinx)?f(cosx)f(sinx)?f(cosx)2I?? ?2 0 f(sinx)?f(cosx)??dx??I?.
f(sinx)?f(cosx)24
浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试题及答案
