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《中子输运理论与数值方法》课程作业
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——蒙特卡洛方法
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目录
1. 前言 ............................................................ 3 2. 蒙特卡洛方法概述................................................. 3
2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 ...................................... 4 2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 .................................. 4
2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性................................... 4 2.2.2 蒙特卡洛方法的误差..................................... 5 2.3 蒙特卡洛方法的特点 .......................................... 6 2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围 .................................. 7 3. 随机数........................................................... 7
3.1 线性乘同余方法 .............................................. 9 3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 ................................ 9
3.2.1 伪随机数的均匀性....................................... 9 3.2.2 伪随机数的独立性...................................... 10
4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用.................................. 10
4.1 屏蔽问题模型 ............................................... 10 4.2 直接模拟方法 ............................................... 11
4.2.1 状态参数与状态序列.................................... 11 4.2.2 模拟运动过程.......................................... 12 4.2.3 记录结果.............................................. 15 4.3 蒙特卡洛方法的效率 ......................................... 16 5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP...................................... 17
5.1 MCNP简述................................................... 17 5.2 MCNP误差的估计............................................. 18 5.3 MCNP效率因素............................................... 19 6. 结论............................................................ 19
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参考文献........................................................... 20
1. 前言
半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。
粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面与能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。
粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法是求解辐射输运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题，具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介绍蒙特卡洛的概念、原理和应用及研究现状。
2. 蒙特卡洛方法概述
蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
蒙特卡洛方法的主要组成部分有：
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(1)概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数； (2)随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数；
(3)抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽取服从给定的pdf的随机变量；
(4)模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果；
(5)误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；
(6)减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数； (7)并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法
2.1 蒙特卡洛方法的基本思想
可以通俗地说，蒙特卡洛方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
?g???g(r)f(r)dr
0?(0.1)
通过某种试验，得到N个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取N个子样r1，r2，…，rN，），将相应的N个随机变量的值g(r1)，
1g(r2)，…，g(rN)的算术平均值gN?N。 ?g(r)，作为积分的估计值（近似值）
ii?1N 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方
法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡洛方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差
蒙特卡洛方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问
题。
2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡洛方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN
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1的算术平均值XN?N?Xi?1Ni.作为所求解的近似值。由大数定律可知，如X1，X2，…，
??XN独立同分布，且具有有限期望值，则P?limXN?E(X)??1。即随机变量X的
?N???简单子样的算术平均值XN，当子样数N充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
2.2.2 蒙特卡洛方法的误差
蒙特卡洛方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即0??2??(x?E(X))2f(x)dx??。f(X)是X的分布密度函数。则
?N?P?XN?E(X)?x??lim???N????12??x?xe?t/2dt
2(0.2)
当N充分大时，有如下的近似式
???P?XN?E(X)??N?2???2?????0e?t/2dt?1??
2(0.3)
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式XN?E(X)????N近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为O(N?1/2)。通常，蒙特卡洛方法的误差ε定义为
?????N (0.4)
上式中??与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出??。常用的α与??的对应关系为：α=0.5，
??=0.6745；α=0.05，??=0.96；α=0.003，??=3. 蒙特卡洛方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值
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蒙特卡洛方法在中子输运中的应用
