明AB=AF=FP=BP，从而得到结论. 【详解】
(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,
∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF, ∴△OAF≌△OBE, ∴OE=OF,
∵∠EOF=∠AOB=120°, ∴∠OEM=∠OFM=30°,
∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,
又∠OBE=∠OME=90°,
∴OM=OB,
∴EF为☉O的切线.
(2)存在.
∵BC为☉O的直径, ∴∠BAC=90°, ∵∠ACB=60°, ∴∠ABC=30°,
又∵∠ACB=60°,OA=OC,
∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°, ∵AF为☉O的切线, ∴∠OAF=90°,
∴∠CAF=∠AFC=30°, ∴∠ABC=∠AFC, ∴AB=AF.
当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,
∴∠OAF=∠OPF=90°,
又∵OA=OP,OF为公共边,
∴△OAF≌△OPF, ∴AF=PF,
∠BFE=∠AFC=30°.
又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,
∴BP=FP, ∴AB=AF=FP=BP, ∴四边形AFPB是菱形.
【点睛】
考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
12．如图，已知△ABC，AB=2，BC?3，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD， 以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
?的中点，求BD:CD的值； （2）如果E是DF（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长 ．
【答案】(1) y=【解析】 【分析】
4-4x+2x2(0≤x≤3); (2) 41+5; (3) BD的长是1或. 52（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度．联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在Rt△ADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式． （2）由勾股定理求得：AC=AH2?DH2．设DF与AE相交于点Q，通过解Rt△DCQ和
DQ1?．故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DCRt△AHC推知
CQ2的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案．
（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：①当AF∥DC、②当AD∥FC．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答． 【详解】
（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵∠B=45°，AB=2，∴BH?AH?AB·cosB?1． ∵BD为x，∴DH?x?1．
在Rt△ADH中，?AHD?90?，∴AD?AH2?DH2?2?2x?x2．
联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度．
∵点F在圆A上，且AF⊥AD，∴AD?AF，?ADF?45?． 在Rt△ADF中，?DAF?90?，∴DF?∴y?4?4x?2x2．?0?x?3? ;
（2）∵E是DF的中点，∴AE?DF，AE平分DF． ∵BC=3，∴HC?3?1?2．∴AC?AD?4?4x?2x2．
cos?ADFuuurAH2?HC2?5．
DQ． CQ设DF与AE相交于点Q，在Rt△DCQ中，?DQC?90?，tan?DCQ?在Rt△AHC中，?AHC?90?，tan?ACH?∵?DCQ??ACH，∴
AH1?． HC2DQ1?． CQ2设DQ?k,CQ?2k，AQ?DQ?k， ∵3k?5，k?5522，∴DC?DQ?CQ?．
3344，∴BD:CD?． 35（3）如果四边形ADCF是梯形
∵BD?BC?DC?则①当AF∥DC时，?AFD??FDC?45?．
∵?ADF?45?，∴AD?BC，即点D与点H重合． ∴BD?1． ②当AD∥FC时，?ADF??CFD?45?． ∵?B?45?，∴?B??CFD．
∵?B??BAD??ADF??FDC，∴?BAD??FDC． ∴?ABD∽?DFC．∴∵DF?ABAD?． DFDC2AD，DC?BC?BD．
∴AD?BC?BD．即
2?2-2x?x2?2?3?x,
整理得 x2?x?1?0，解得 x?1?5（负数舍去）． 2综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或【点睛】
1+5． 2此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
13．如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B． (1)求证：直线CD是⊙O的切线；
?的长度．(结果保留π) (2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为 3cm，求DE
?的长度为π. 【答案】（1）证明见解析；（2）DE【解析】
（1）证明：∵AC是⊙O切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵CO平分∠AOD， ∴∠AOC=∠COD， 在△AOC和△DOC中， ∴△AOC≌△DOC， ∴∠ODC=∠OAC=90°， ∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线． （2）∵OD⊥BC，DC=DB， ∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO， ∵∠B+∠ACB=90°， ∴∠B=30°，∠DOE=60°， ∴
的长度==π．[来源:Zxxk.Com]
14．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、
E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）【解析】
332? ?23试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积． 试题解析：
（1）证明：连接DO． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠C=60°． ∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形． ∴∠ADO=60°， ∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°， ∴DF为⊙O的切线； （2）∵△OAD是等边三角形， ∴AD=AO=AB=2． ∴CD=AC﹣AD=2． Rt△CDF中， ∵∠CDF=30°， ∴CF=CD=1． ∴DF=∴CF=1， ∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）?DF=
，
，
连接OE，则CE=2．
2020-2021中考数学压轴题专题复习 - 圆的综合的综合含详细答案
