（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；
BCHBBC2＝②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OCBC4BC2OH+HC=4?+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
4详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA， ∴∠OCA+∠OCB=90°， ∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CG是⊙O的切线； （2）①∵CB=CH， ∴∠CBH=∠CHB， ∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB， ∴△CBH∽△OBC
BCHB＝②由△CBH∽△OBC可知： OCBC∵AB=8，
∴BC2=HB?OC=4HB， BC2∴HB=，
4BC2∴OH=OB-HB=4- 4∵CB=CH，
BC2∴OH+HC=4?+BC，
4当∠BOC=90°，
此时BC=42 ∵∠BOC＜90°， ∴0＜BC＜42，
x2令BC=x则CH=x，BH=
4112?OH?HC??x2?x?4???x?2??5
44当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
10．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为?AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E． （1）当DC⊥AB时，则
DA?DB＝ ； DC（2）①当点D在?AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式； （3）当
DEPD92时，求的值． ?OAAC20
【答案】（1）2；（2）①DA+DB＝2DC，②S＝【解析】 【分析】
1212DE242t﹣m ；（3）. ?24OA35（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果． 【详解】
解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵C为?AB的中点，
?， ∴?AC?BC∴∠ADC＝∠BDC＝45°， ∵DC⊥AB，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∴∠DAE＝∠DBE＝45°， ∴AE＝BE， ∴点E与点O重合， ∴DC为⊙O的直径， ∴DC＝AB，
在等腰直角三角形DAB中， DA＝DB＝2AB， 2∴DA+DB＝2AB＝2CD， ∴
DA?DB＝2； DC
（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，
?， 由（1）知?AC?BC∴AC＝BC， ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，
∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°， ∴∠NBC＝∠MCA， 在△NBC和△MCA中，
??BNC??CMA???NBC??MCA， ?BC?CA?∴△NBC≌△MCA（AAS）， ∴CN＝AM，
由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°， AM＝22DA，DN＝DB， 22∴DC＝DN+NC＝222DB+DA＝（DB+DA）， 222即DA+DB＝2DC；
②在Rt△DAB中， DA2+DB2＝AB2＝m2，
∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA?DB， 且由①知DA+DB＝2DC＝2t， ∴（2t）2＝m2+2DA?DB， ∴DA?DB＝t2﹣∴S△ADB＝
12m， 2111DA?DB＝t2﹣m2， 2241212
t﹣m； 24（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G， 则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，
?， 由（1）知?AC?BC∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝∴AC＝BC，
∴△ACB为等腰直角三角形， ∴AB＝2AC， ∵
PD92， ?AC20设PD＝92，则AC＝20，AB＝202， ∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB， ∴△ABD∽△PBA， ∴∴
ABBDAD??， PBABPA202BD， ?DB?92202AB2?DB2＝122，
∴DB＝162， ∴AD＝设NE＝ME＝x，
∵S△ABD＝∴
111AD?BD＝AD?NE+BD?ME， 222111×122×162＝×122?x+×162?x， 222482， 7∴x＝∴DE＝2HE＝2x＝又∵AO＝∴
96， 71AB＝102， 2DE961242． ???OA710235
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
11．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,过点B作☉O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F. (1)连接EF,求证:EF是☉O的切线;
(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;
（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证
2020-2021中考数学压轴题专题复习 - 圆的综合的综合含详细答案
